Что такое дерево отклонений


Классификация и регрессия с помощью деревьев принятия решений / Хабр

Введение

В данной статье сделан обзор деревьев принятия решений (Decision trees) и трех основных алгоритмов, использующих эти деревья для построение классификационных и регрессионных моделей. В свою очередь будет показано, как деревья принятия решения, изначально ориентированные на классификацию, используются для регрессии.
Деревья принятия решений

Дерево принятия решений — это дерево, в листьях которого стоят значения целевой функции, а в остальных узлах — условия перехода (к примеру “ПОЛ есть МУЖСКОЙ”), определяющие по какому из ребер идти. Если для данного наблюдения условие истина то осуществляется переход по левому ребру, если же ложь — по правому.

Классификация

На изображении приведенном выше показано дерево классификации ирисов. Классификация идет на три класса (на изображении помечены — красным, синим и зеленым), и проходит по параметрам: длина\толщина чашелистика (SepalLen, SepalWid) и длина\толщина лепестка (PetalLen, PetalWid). Как видим, в каждом узле стоит его принадлежность к классу (в зависимости от того, каких элементов больше попало в этот узел), количество попавших туда наблюдений N, а так же количество каждого класса. Так же не в листовых вершинах есть условие перехода — в одну из дочерних. Соответственно, по этим условиям и разбивается выборка. В результате, это дерево почти идеально (6 из 150 неправильно) классифицировало исходные данные (именно исходные — те на которых оно обучалось).

Регрессия

Если при классификации в листах стоят результирующие классы, при регрессии же стоит какое-то значение целевой функции.

На выше приведенном изображении регрессионное дерево, для определения цены на землю в городе Бостон в 1978 году, в зависимости от параметров RM — количество комнат, LSTAT — процент неимущих и нескольких других параметров (более детально можно посмотреть в [4]). Соответственно, здесь в каждом узле мы видим среднее значение (Avg) и стандартное отклонение (STD) значений целевой функции наблюдений попавших в эту вершину. Общее количество наблюдений попавших в узел N. Результатом регрессии будет то значение среднего (Avg), в какой узел попадёт наблюдение.
Таким образом изначально классификационное дерево, может работать и для регрессии. Однако при таком подходе, обычно требуются большие размеры дерева, чем при классификации, что бы достигнуть хороших результатов регрессии.

Основные методы

Ниже перечислены несколько основных методов, которые используют деревья принятия решений. Их краткое описание, плюсы и минусы.
CART

CART (англ. Classification and regression trees — Классификационные и регрессионные деревья) был первым из методов, придуманный в 1983 четверкой известных ученых в области анализа данных: Leo Breiman, Jerome Friedman, Richard Olshen and Stone [1].
Суть этого алгоритма состоит в обычном построении дерева принятия решений, не больше и не меньше.
На первой итерации мы строим все возможные (в дискретном смысле) гиперплоскости, которые разбивали бы наше пространство на два. Для каждого такого разбиения пространства считается количество наблюдений в каждом из подпространств разных классов. В результате выбирается такое разбиение, которое максимально выделило в одном из подпространств наблюдения одного из классов. Соответственно, это разбиение будет нашим корнем дерева принятия решений, а листами на данной итерации будет два разбиения.
На следующих итерациях мы берем один худший (в смысле отношения количества наблюдений разных классов) лист и проводим ту же операцию по разбиению его. В результате этот лист становится узлом с каким-то разбиением, и двумя листами.
Продолжаем так делать, пока не достигнем ограничения по количеству узлов, либо от одной итерации к другой перестанет улучшаться общая ошибка (количество неправильно классифицированных наблюдений всем деревом). Однако, полученное дерево будет “переобучено” (будет подогнано под обучающую выборку) и, соответственно, не будет давать нормальные результаты на других данных. Для того, что бы избежать “переобучения”, используют тестовые выборки (либо кросс-валидацию) и, соответственно, проводится обратный анализ (так называемый pruning), когда дерево уменьшают в зависимости от результата на тестовой выборке.
Относительно простой алгоритм, в результате которого получается одно дерево принятия решений. За счет этого, он удобен для первичного анализа данных, к примеру, что бы проверить на наличие связей между переменными и другим.
Быстрое построение модели
Легко интерпретируется (из-за простоты модели, можно легко отобразить дерево и проследить за всеми узлами дерева)
Часто сходится на локальном решении (к примеру, на первом шаге была выбрана гиперплоскость, которая максимально делит пространство на этом шаге, но при этом это не приведёт к оптимальному решению)
RandomForest

Random forest (Случайный лес) — метод, придуманный после CART одним из четверки — Leo Breiman в соавторстве с Adele Cutler [2], в основе которого лежит использование комитета (ансамбля) деревьев принятия решений.
Суть алгоритма, что на каждой итерации делается случайная выборка переменных, после чего, на этой новой выборке запускают построение дерева принятия решений. При этом производится “bagging” — выборка случайных двух третей наблюдений для обучения, а оставшаяся треть используется для оценки результата. Такую операцию проделывают сотни или тысячи раз. Результирующая модель будет будет результатом “голосования” набора полученных при моделировании деревьев.
Высокое качество результата, особенно для данных с большим количеством переменных и малым количеством наблюдений.
Возможность распараллелить
Не требуется тестовая выборка
Каждое из деревьев огромное, в результате модель получается огромная
Долгое построение модели, для достижения хороших результатов.
Сложная интерпретация модели (Сотни или тысячи больших деревьев сложны для интерпретации)
Stochastic Gradient Boosting

Stochastic Gradient Boosting (Стохастическое градиентное добавление) — метод анализа данных, представленный Jerome Friedman [3] в 1999 году, и представляющий собой решение задачи регрессии (к которой можно свести классификацию) методом построения комитета (ансамбля) “слабых” предсказывающих деревьев принятия решений.
На первой итерации строится ограниченное по количеству узлов дерево принятия решений. После чего считается разность между тем, что предсказало полученное дерево умноженное на learnrate (коэффициент “слабости” каждого дерева) и искомой переменной на этом шаге.
Yi+1=Yi-Yi*learnrate
И уже по этой разнице строится следующая итерация. Так продолжается, пока результат не перестанет улучшаться. Т.е. на каждом шаге мы пытаемся исправить ошибки предыдущего дерева. Однако здесь лучше использовать проверочные данные (не участвовавшие в моделировании), так как на обучающих данных возможно переобучение.
Высокое качество результата, особенно для данных с большим количеством наблюдений и малым количеством переменных.
Сравнительно (с предыдущим методом) малый размер модели, так как каждое дерево ограничено заданными размерами.
Сравнительно (с предыдущим методом) быстрое время построение оптимальное модели
Требуется тестовая выборка (либо кросс-валидация)
Невозможность хорошо распараллелить
Относительно слабая устойчивость к ошибочным данным и переобучению
Сложная интерпретация модели (Так же как и в Random forest)
Заключение

Как мы увидели у каждого метода есть свои плюсы и минусы, и соответственно, в зависимости от задачи и исходных данных, при решении можно использовать один из трех методов и получить нужный результат. Однако, CART больше используется в университетах для обучения и исследований, когда необходима какая-то чёткая описательная база для решения (как в приведенном выше примере анализа цены земли в Бостоне). А для решения промышленных задач обычно используют один из его потомков — Random Forest или TreeNet.
Перечисленные методы можно найти в многих современных пакетах для анализа данных:

Список литературы

  1. “Classification and Regression Trees”. Breiman L., Friedman J. H., Olshen R. A, Stone C. J.
  2. “Random Forests”. Breiman L.
  3. “Stochastic Gradient Boosting”. Friedman J. H.
  4. http://www.cs.toronto.edu/~delve/data/boston/bostonDetail.html

Что такое дерево решений и где его используют? — Личный опыт на vc.ru

{"id":152868,"url":"https:\/\/vc.ru\/life\/152868-chto-takoe-derevo-resheniy-i-gde-ego-ispolzuyut","title":"\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442?","services":{"facebook":{"url":"https:\/\/www.facebook.com\/sharer\/sharer.php?u=https:\/\/vc.ru\/life\/152868-chto-takoe-derevo-resheniy-i-gde-ego-ispolzuyut","short_name":"FB","title":"Facebook","width":600,"height":450},"vkontakte":{"url":"https:\/\/vk.com\/share.php?url=https:\/\/vc.ru\/life\/152868-chto-takoe-derevo-resheniy-i-gde-ego-ispolzuyut&title=\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442?","short_name":"VK","title":"\u0412\u041a\u043e\u043d\u0442\u0430\u043a\u0442\u0435","width":600,"height":450},"twitter":{"url":"https:\/\/twitter.com\/intent\/tweet?url=https:\/\/vc.ru\/life\/152868-chto-takoe-derevo-resheniy-i-gde-ego-ispolzuyut&text=\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442?","short_name":"TW","title":"Twitter","width":600,"height":450},"telegram":{"url":"tg:\/\/msg_url?url=https:\/\/vc.ru\/life\/152868-chto-takoe-derevo-resheniy-i-gde-ego-ispolzuyut&text=\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442?","short_name":"TG","title":"Telegram","width":600,"height":450},"odnoklassniki":{"url":"http:\

B-tree / Хабр

Введение

Деревья представляют собой структуры данных, в которых реализованы операции над динамическими множествами. Из таких операций хотелось бы выделить — поиск элемента, поиск минимального (максимального) элемента, вставка, удаление, переход к родителю, переход к ребенку. Таким образом, дерево может использоваться и как обыкновенный словарь, и как очередь с приоритетами.

Основные операции в деревьях выполняются за время пропорциональное его высоте. Сбалансированные деревья минимизируют свою высоту (к примеру, высота бинарного сбалансированного дерева с n узлами равна log n). Большинство знакомо с такими сбалансированными деревьями, как «красно-черное дерево», «AVL-дерево», «Декартово дерево», поэтому не будем углубляться.

В чем же проблема этих стандартных деревьев поиска? Рассмотрим огромную базу данных, представленную в виде одного из упомянутых деревьев. Очевидно, что мы не можем хранить всё это дерево в оперативной памяти => в ней храним лишь часть информации, остальное же хранится на стороннем носителе (допустим, на жестком диске, скорость доступа к которому гораздо медленнее). Такие деревья как красно-черное или Декартово будут требовать от нас log n обращений к стороннему носителю. При больших n это очень много. Как раз эту проблему и призваны решить B-деревья!

B-деревья также представляют собой сбалансированные деревья, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте. Но, в отличие от остальных деревьев, они созданы специально для эффективной работы с дисковой памятью (в предыдущем примере – сторонним носителем), а точнее — они минимизируют обращения типа ввода-вывода.

Структура

При построении B-дерева применяется фактор t, который называется минимальной степенью. Каждый узел, кроме корневого, должен иметь, как минимум t – 1, и не более 2t – 1 ключей. Обозначается n[x] – количество ключей в узле x.

Ключи в узле хранятся в неубывающем порядке. Если x не является листом, то он имеет n[x] + 1 детей. Если занумеровать ключи в узле x, как k[i], а детей c[i], то для любого ключа в поддереве с корнем c[i] (пусть k1), выполняется следующее неравенство – k[i-1] ≤k1≤k[i] (для c[0]: k[i-1] = -∞, а для c[n[x]]: k[i] = +∞). Таким образом, ключи узла задают диапазон для ключей их детей.

Все листья B-дерева должны быть расположены на одной высоте, которая и является высотой дерева. Высота B-дерева с n ≥ 1 узлами и минимальной степенью t ≥ 2 не превышает logt(n+1). Это очень важное утверждение (почему – мы поймем чуть позже)!

h ≤ logt((n+1)/2) — логарифм по основанию t.

Операции, выполнимые с B-деревом

Как упоминалось выше, в B-дереве выполняются все стандартные операции по поиску, вставке, удалению и т.д.
Поиск

Поиск в B-дереве очень схож с поиском в бинарном дереве, только здесь мы должны сделать выбор пути к потомку не из 2 вариантов, а из нескольких. В остальном — никаких отличий. На рисунке ниже показан поиск ключа 27. Поясним иллюстрацию (и соответственно стандартный алгоритм поиска):

Операция поиска выполняется за время O(t logt n), где t – минимальная степень. Важно здесь, что дисковых операций мы совершаем всего лишь O(logt n)!

Добавление

В отличие от поиска, операция добавления существенно сложнее, чем в бинарном дереве, так как просто создать новый лист и вставить туда ключ нельзя, поскольку будут нарушаться свойства B-дерева. Также вставить ключ в уже заполненный лист невозможно => необходима операция разбиения узла на 2. Если лист был заполнен, то в нем находилось 2t-1 ключей => разбиваем на 2 по t-1, а средний элемент (для которого t-1 первых ключей меньше его, а t-1 последних больше) перемещается в родительский узел. Соответственно, если родительский узел также был заполнен – то нам опять приходится разбивать. И так далее до корня (если разбивается корень – то появляется новый корень и глубина дерева увеличивается). Как и в случае обычных бинарных деревьев, вставка осуществляется за один проход от корня к листу. На каждой итерации (в поисках позиции для нового ключа – от корня к листу) мы разбиваем все заполненные узлы, через которые проходим (в том числе лист). Таким образом, если в результате для вставки потребуется разбить какой-то узел – мы уверены в том, что его родитель не заполнен!

На рисунке ниже проиллюстрировано то же дерево, что и в поиске (t=3). Только теперь добавляем ключ «15». В поисках позиции для нового ключа мы натыкаемся на заполненный узел (7, 9, 11, 13, 16). Следуя алгоритму, разбиваем его – при этом «11» переходит в родительский узел, а исходный разбивается на 2. Далее ключ «15» вставляется во второй «отколовшийся» узел. Все свойства B-дерева сохраняются!

Операция добавления происходит также за время O(t logt n). Важно опять же, что дисковых операций мы выполняем всего лишь O(h), где h – высота дерева.

Удаление

Удаление ключа из B-дерева еще более громоздкий и сложный процесс, чем вставка. Это связано с тем, что удаление из внутреннего узла требует перестройки дерева в целом. Аналогично вставке необходимо проверять, что мы сохраняем свойства B-дерева, только в данном случае нужно отслеживать, когда ключей t-1 (то есть, если из этого узла удалить ключ – то узел не сможет существовать). Рассмотрим алгоритм удаления:
1)Если удаление происходит из листа, то необходимо проверить, сколько ключей находится в нем. Если больше t-1, то просто удаляем и больше ничего делать не нужно. Иначе, если существует соседний лист (находящийся рядом с ним и имеющий такого же родителя), который содержит больше t-1 ключа, то выберем ключ из этого соседа, который является разделителем между оставшимися ключами узла-соседа и исходного узла (то есть не больше всех из одной группы и не меньше всех из другой). Пусть это ключ k1. Выберем ключ k2 из узла-родителя, который является разделителем исходного узла и его соседа, который мы выбрали ранее. Удалим из исходного узла нужный ключ (который необходимо было удалить), спустим k2 в этот узел, а вместо k2 в узле-родителе поставим k1. Чтобы было понятнее ниже представлен рисунок (рис.1), где удаляется ключ «9». Если же все соседи нашего узла имеют по t-1 ключу. То мы объединяем его с каким-либо соседом, удаляем нужный ключ. И тот ключ из узла-родителя, который был разделителем для этих двух «бывших» соседей, переместим в наш новообразовавшийся узел (очевидно, он будет в нем медианой).
Рис. 1.

2)Теперь рассмотрим удаление из внутреннего узла x ключа k. Если дочерний узел, предшествующий ключу k содержит больше t-1 ключа, то находим k1 – предшественника k в поддереве этого узла. Удаляем его (рекурсивно запускаем наш алгоритм). Заменяем k в исходном узле на k1. Проделываем аналогичную работу, если дочерний узел, следующий за ключом k, имеет больше t-1 ключа. Если оба (следующий и предшествующий дочерние узлы) имеют по t-1 ключу, то объединяем этих детей, переносим в них k, а далее удаляем k из нового узла (рекурсивно запускаем наш алгоритм). Если сливаются 2 последних потомка корня – то они становятся корнем, а предыдущий корень освобождается. Ниже представлен рисунок (рис.2), где из корня удаляется «11» (случай, когда у следующего узла больше t-1 ребенка).
Рис.2.

Операция удаления происходит за такое же время, что и вставка O(t logt n). Да и дисковых операций требуется всего лишь O(h), где h – высота дерева.

Итак, мы убедились в том, что B-дерево является быстрой структурой данных (наряду с такими, как красно-черное, АВЛ). И еще одно важное свойство, которое мы получили, рассмотрев стандартные операции, – автоматическое поддержание свойства сбалансированности – заметим, что мы нигде не балансируем его специально.

Базы Данных

Проанализировав, вместе со скоростью выполнения, количество проведенных операций с дисковой памятью, мы можем сказать, что B-дерево несомненно является более выгодной структурой данных для случаев, когда мы имеем большой объем информации.

Очевидно, увеличивая t (минимальную степень), мы увеличиваем ветвление нашего дерева, а следовательно уменьшаем высоту! Какое же t выбрать? — Выбираем согласно размеру оперативной памяти, доступной нам (т.е. сколько ключей мы можем единовременно просматривать). Обычно это число находится в пределах от 50 до 2000. Разберёмся, что же дает нам ветвистость дерева на стандартном примере, который используется во всех статьях про B-tree. Пусть у нас есть миллиард ключей, и t=1001. Тогда нам потребуется всего лишь 3 дисковые операции для поиска любого ключа! При этом учитываем, что корень мы можем хранить постоянно. Теперь видно, на сколько это мало!

Также, мы читаем не отдельные данные с разных мест, а целыми блоками. Перемещая узел дерева в оперативную память, мы перемещаем выделенный блок последовательной памяти, поэтому эта операция достаточно быстро работает.

Соответственно, мы имеем минимальную нагрузку на сервер, и при этом малое время ожидания. Эти и другие описанные преимущества позволили B-деревьям стать основой для индексов, базирующихся на деревьях в СУБД.

Upd: визуализатор

Литература

«Алгоритмы. Построение и анализ» Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн (второе издание)
«Искусство программирование. Сортировка и поиск» Дональд Кнут.

Структура данных B-дерево / Блог компании OTUS. Онлайн-образование / Хабр

Всем привет! Мы запустили новый набор на курс «Алгоритмы для разработчиков» и сегодня хотим поделиться интересным переводом, подготовленным для студентов данного курса.

В деревьях поиска, таких как двоичное дерево поиска, AVL дерево, красно-чёрное дерево и т.п. каждый узел содержит только одно значение (ключ) и максимум двое потомков. Однако есть особый тип дерева поиска, который называется B-дерево (произносится как Би-дерево). В нем узел содержит более одного значения (ключа) и более двух потомков. B-дерево было разработано в 1972 году Байером и МакКрейтом и называлось Сбалансированное по высоте дерево поиска порядка m (Height Balanced m-way Search Tree). Свое современное название B-дерево получило позже.

B-дерево можно определить следующим образом:
B-дерево – это сбалансированное дерево поиска, в котором каждый узел содержит множество ключей и имеет более двух потомков.

Здесь количество ключей в узле и количество его потомков зависит от порядка B-дерева. Каждое B-дерево имеет порядок.

B-дерево порядка m обладает следующими свойствами:

Свойство 1: Глубина всех листьев одинакова.
Свойство 2: Все узлы, кроме корня должны иметь как минимум (m/2) – 1 ключей и максимум m-1 ключей.
Свойство 3: Все узлы без листьев, кроме корня (т.е. все внутренние узлы), должны иметь минимум m/2 потомков.
Свойство 4: Если корень – это узел не содержащий листьев, он должен иметь минимум 2 потомка.
Свойство 5:Узел без листьев с n-1 ключами должен иметь n потомков.
Свойство 6: Все ключи в узле должны располагаться в порядке возрастания их значений.

Например, B-дерево 4 порядка содержит максимум 3 значения ключа и максимум 4 потомка для каждого узла.


B-дерево 4 порядка

Операции над B-деревом

Над B-деревом можно проводить следующие операции:

  1. Поиск
  2. Вставка
  3. Удаление

Поиск по B-дереву

Поиск по B-дереву аналогичен поиску по двоичному дереву поиска. В двоичном дереве поиска поиск начинается с корня и каждый раз принимается двустороннее решение (пойти по левому поддереву или по правому). В В-дереве поиск также начинается с корневого узла, но на каждом шаге принимается n-стороннее решение, где n – это общее количество потомков рассматриваемого узла. В В-дереве сложность поиска составляет O(log n). Поиск происходит следующим образом:

Шаг 1: Считать элемент для поиска.
Шаг 2: Сравнить искомый элемент с первым значением ключа в корневом узле дерева.
Шаг 3: Если они совпадают, вывести: «Искомый узел найден!» и завершить поиск.
Шаг 4: Если они не совпадают, проверить больше или меньше значение элемента, чем текущее значение ключа.
Шаг 5: Если искомый элемент меньше, продолжить поиск по левому поддереву.
Шаг 6: Если искомый элемент больше, сравнить элемент со следующим значением ключа в узле и повторять Шаги 3, 4, 5 и 6 пока не будет найдено совпадение или пока искомый элемент не будет сравнен с последним значением ключа в узле-листе.
Шаг 7: Если последнее значение ключа в узле-листе не совпало с искомым, вывести «Элемент не найден!» и завершить поиск.

Операция вставки в B-дерево

В В-дереве новый элемент может быть добавлен только в узел-лист. Это значит, что новая пара ключ-значение всегда добавляется только к узлу-листу. Вставка происходит следующим образом:

Шаг 1: Проверить пустое ли дерево.
Шаг 2: Если дерево пустое, создать новый узел с новым значением ключа и его принять за корневой узел.
Шаг 3: Если дерево не пустое, найти подходящий узел-лист, к которому будет добавлено новое значение, используя логику дерева двоичного поиска.
Шаг 4: Если в текущем узле-листе есть незанятая ячейка, добавить новый ключ-значение к текущему узлу-листу, следуя возрастающему порядку значений ключей внутри узла.
Шаг 5: Если текущий узел полон и не имеет свободных ячеек, разделите узел-лист, отправив среднее значение родительскому узлу. Повторяйте шаг, пока отправляемое значение не будет зафиксировано в узле.
Шаг 6: Если разделение происходит с корнем дерева, тогда среднее значение становится новым корнем дерева и высота дерева увеличивается на единицу.

Пример:

Давайте создадим B-дерево порядка 3, добавляя в него числа от 1 до 10.

Insert(1):
Поскольку «1» — это первый элемент дерева – он вставляется в новый узел и этот узел становится корнем дерева.

Insert(2):
Элемент «2» добавляется к существующему узлу-листу. Сейчас у нас всего один узел, следовательно он является и корнем и листом одновременно. В этом листе имеется пустая ячейка. Тогда «2» встает в эту пустую ячейку.

Insert(3):
Элемент «3» добавляется к существующему узлу-листу. Сейчас у нас только один узел, который одновременно является и корнем и листом. У этого листа нет пустой ячейки. Поэтому мы разделяем этот узел, отправляя среднее значение (2) в родительский узел. Однако у текущего узла родительского узла нет. Поэтому среднее значение становится корневым узлом дерева.

Insert(4):
Элемент «4» больше корневого узла со значением «2», при этом корневой узел не является листом. Поэтому мы двигаемся по правому поддереву от «2». Мы приходим к узлу-листу со значением «3», у которого имеется пустая ячейка. Таким образом, мы можем вставить элемент «4» в эту пустую ячейку.

Insert(5):
Элемент «5» больше корневого узла со значением «2», при этом корневой узел не является листом. Поэтому мы двигаемся по правому поддереву от «2». Мы приходим к узлу-листу и обнаруживаем, что он уже полон и не имеет пустых ячеек. Тогда мы делим этот узел, отправляя среднее значение (4) в родительский узел (2). В родительском узле есть для него пустая ячейка, поэтому значение «4» добавляется к узлу, в котором уже есть значение «2», а новый элемент «5» добавляется в качестве нового листа.

Insert(6):
Элемент «6» больше, чем элементы корня «2» и «4», который не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4». Мы достигаем листа со значением «5», у которого есть пустая ячейка, поэтому элемент «6» помещаем как раз в нее.

Insert(7):
Элемент «7» больше, чем элементы корня «2» и «4», который не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4». Мы достигаем узла-листа и видим, что он полон. Мы делим этот узел, отправляя среднее значение «6» вверх к родительскому узлу с элементами «2» и «4». Однако родительский узел тоже полон, поэтому мы делим узел с элементами «2» и «4», отправляя значение «4» родительскому узлу. Только вот этого узла еще нет. В таком случае узел с элементом «4» становится новым корнем дерева.

Insert(8):
Элемент «8» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значением «6». «8» больше «6» и узел с элементом «6» не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «6». Мы достигаем узла-листа с «7», у которого есть пустая ячейка, поэтому в нее мы помещаем «8».

Insert(9):
Элемент «9» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значением «6». «9» больше «6» и узел с элементом «6» не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «6». Мы достигаем узла-листа со значениями «7» и «8». Он полон. Мы делим этот узел, отправляя среднее значение (8) родительскому узлу. Родительский узел «6» имеет пустую ячейку, поэтому мы помещаем «8» в нее. При этом новый элемент «9» добавляется в узел-лист.

Insert(10):
Элемент «10» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значениями «6» и «8». «10» больше «6» и «8» и узел с этими элементами не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «8». Мы достигаем узла-листа со значением «9». У него есть пустая ячейка, поэтому туда мы помещаем «10».

Предлагаем вам самостоятельно на практике понять, как устроены В-деревья, воспользовавшись этой визуализацией.

Ждем всех на бесплатном открытом уроке, который пройдет уже 12 июля. До встречи!

2. Критерии отбора и назначения деревьев к вырубке

2. Критерии отбора и назначения деревьев к вырубке

2.1. Вырубка деревьев относится к санитарно-оздоровительным мероприятиям, её выполнение обязательно по отношению к деревьям по показаниям их состояния, поврежденности, отклонениям в развитии, положении и строении ствола и кроны, опасности для окружающих насаждений, населения, строений и сооружений и невозможности выполнять экологические и эстетические функции.

Вырубке подлежат:

  • деревья неудовлетворительного состояния, утратившие жизнеспособность, декоративность и другие полезные свойства и относящиеся к категориям 4 - усыхающих, 5 - сухостоя текущего года (усохших в текущем году), 6 - сухостоя прошлых лет
  • деревья, которые представляют опасность как аварийные
  • деревья, пораженные опасными болезнями и вредителями

Все категории деревьев определяются по визуальным признакам.

Оценку состояния хвойных видов древесных растений (кроме лиственницы) можно проводить круглогодично. Оценку состояния деревьев лиственных видов древесных растений и лиственницы следует проводить в период вегетации после полного завершения распускания листьев (и хвои лиственницы) в сроки, соответствующие фенологии видов рано и поздно распускающих листву деревьев: например, для тополя, ивы, березы, клена - с середины мая, а для липы, дуба поздней формы и ясеня с конца мая - начала июня.

2.2. Показатели для представления к вырубке деревьев неудовлетворительного состояния (4 - усыхающих, 5 - сухостоя текущего года (усохших в текущем году), 6 - сухостоя прошлых лет) приведены в табл. 1.1, где описаны основные визуальные признаки для оценки состояния этих деревьев и отнесения их к одной из названных категорий состояния.

2.3. Показатели для представления к вырубке аварийных деревьев по отклонениям в развитии, положении и строении ствола и кроны и по особенностям своего местоположения, представляющих опасность для населения и окружающих строений и сооружений, приведены в табл. 2.1.

В особых случаях, например, при реконструкции и капитальном ремонте насаждений на озелененных территориях при высокой первоначальной ценности таких деревьев и возможности их оставления на прежних местах произрастания, вместо отвода их в рубку могут быть назначены по отношению к ним защитные мероприятия.

Под защитными мероприятиями по отношению к аварийным деревьям подразумевается санитарная и формовочная глубокая обрезка их кроны, разреживание и переформирование загущенных насаждений с целью улучшения световой обстановки для остающихся деревьев, что будет способствовать гармоничному развитию их кроны и препятствовать дальнейшему наклону ствола, механическое укрепление (подпорка и проч.) стволов и ветвей, лечение дупел.

Таблица 2.1

Показания для назначения к вырубке или для проведения защитных мероприятий деревьев, представляющих опасность для населения и окружающих строений и сооружений

Категории деревьев Условия, определяющие назначение и методы мероприятий
вырубка и срочное удаление деревьев защитные мероприятия
Деревья всех категорий состояния с раскидистой или асимметричной кроной с отдельными или многочисленными усохшими и сломленными крупными фрагментами кроны (вершинами, скелетными ветвями и проч.), не устойчивые к сильным шквалистым ветрам При высоком возрасте и крупных габаритах деревьев, при наличии в их кронах усохших или надломленных крупных ветвей (с диаметром более 8 см) или сухих ветвей любых размеров, составляющими более четверти кроны При среднем и молодом возрасте деревьев, способных восстановить крону после глубокой санитарной и формовочной обрезки
Деревья с признаками поражения гнилевыми болезнями, нарушающими прочность древесины и повышающими их буреломность и ветровальность (см. также табл. 2.2) При поражении гнилями в сильной степени, с наличием плодовых тел дереворазрушающих грибов, с крупными дуплами, сухобочинами, усохшими скелетными ветвями При поражении гнилями в начальных стадиях развития
Деревья с наклоном ствола, образовавшимся из-за недостатка освещения или загущенности насаждений При угле наклона ствола равном или более 45 градусов При угле наклона ствола менее 45 градусов
Деревья, расположенные на расстоянии менее 5 м от строений и сооружений В соответствии СНиПом Не проводятся

2.4. Показатели для выделения, отвода и назначения к вырубке деревьев, пораженных опасными болезнями и вредителями, приведены в табл. 2.2. и 2.3. В таблицах указаны условия, определяющие вырубку и необходимость срочного удаления деревьев из насаждений или необходимость применения интенсивных защитных мероприятий.

Под интенсивными защитными мероприятиями в данном случае подразумевается комплекс мероприятий, с помощью которых возможно сохранение жизни этих деревьев на длительное время.

К вырубке назначаются деревья любых категорий состояния, пораженные опасными болезнями или поврежденные (заселенные) вредителями в степени, не совместимой с длительным сохранением их жизнеспособности, а также представляющие опасность как источник распространения возбудителей болезней или расселения вредителей.

При реконструкции и капитальном ремонте насаждений на озелененных территориях при высокой первоначальной ценности таких деревьев и возможности их оставления на прежних местах произрастания, при определенных условиях вместо отвода их в рубку могут быть назначены по отношению к ним интенсивные защитные мероприятия.

Интенсивные защитные мероприятия целесообразно применять для деревьев хорошего (1 категория состояния) или удовлетворительного состояния (2 и 3-я категории) при условии возможности их сохранения (оставления) на месте. Их пересадка на новые места не рекомендуется, так как пораженные опасными болезнями и заселенные опасными вредителями деревья, как правило, её не выдерживают и, кроме того, на новых местах при неполном уничтожении опасных вредителей и возбудителей болезней будет сохраняться возможность их распространения.

Таблица 2.2

Показания для назначения к вырубке или для проведения защитных мероприятий деревьев, пораженных опасными инфекционными болезнями

Типы болезней Наименования болезней Повреждаемые виды растений Условия, определяющие назначение и методы мероприятий
вырубка и срочное удаление защитные мероприятия
Сосудистые Голландская болезнь (офиостомоз) Вяз гладкий При поражении болезнью более трети кроны и при заселении ствола заболонниками При одиночных пораженных ветвях и при отсутствии заселения деревьев заболонниками
Вилт Клен остролистный При поражении болезнью более трети кроны При поражении болезнью менее трети кроны
Некрозно-раковые Инфекционное усыхание (стигминиоз, тиростромоз) Липа, вяз мелколистный При наличии множественных ран на стволах и поражении болезнью более трети кроны При отсутствии или одиночных ранах на стволе и поражении болезнью более трети кроны
Цитоспоровый некроз (цитоспороз) Тополь, ива, яблоня, рябина При наличии кругового некроза на стволе При локальных некрозах ствола или при их наличии на ветвях и полном отсутствии на стволе
Черный рак Яблоня, груша
Туберкуляриевый нектриевый некроз Лиственные деревья многих видов    
Некрозно-раковые Дискоспориевый (дотихициевый) некроз Тополь При наличии кругового некроза на стволе При отсутствии или одиночных ранах на стволе и поражении болезнью более трети кроны
Некрозно-раковые Пузырчатая ржавчина Сосны веймутова и кедровая При наличии кругового поражения или поражения более трети окружности ствола под кроной или в её нижней половине При поражении ствола в верхней половине кроны или на отдельных ветвях
Бактериальный (мокрый язвенно-сосудистый) рак и Бактериальная водянка Тополь При наличии кругового поражения или поражения более трети окружности ствола под кроной или в её нижней половине При слабом поражении ствола или поражении отдельных ветвей
Гнилевые Ядровые, заболонные и ядрово-заболонные (смешанные) гнили Лиственные и хвойные виды деревьев При наличии обширных сухобочин, занимающих более трети окружности ствола, наличие дупел, наличие сухих ветвей, составляющих более трети кроны Наличие небольших сухобочин и дупел и сухих ветвей, составляющих менее трети кроны

Диагностические признаки наиболее распространенных опасных болезней приведены в Приложении 3.

К защитным мероприятиям по отношению к пораженным указанными в табл. 2.2 болезнями деревьям относятся санитарная обрезка кроны, удаление пораженных ветвей и побегов, лечение небольших ран и дупел, механическое укрепление стволов и ветвей и др.

Таблица 2.3

Показания для назначения к вырубке или для проведения защитных мероприятий деревьев, поврежденных опасными вредителями

Группы вредителей Наименования вредителей Повреждаемые виды растений Условия, определяющие назначение и методы защитных мероприятий
вырубка и срочное удаление защитные мероприятия
Сосущие Кокциды (щитовки, ложно-щитовки и др.) Лиственные и хвойные виды деревьев и кустарников При массовом поражении ствола, ветвей и побегов со сплошной и высокой плотностью поселения При единичном или слабом поражении ствола, ветвей и побегов и поселении отдельных колоний
Стволовые Короеды, усачи, златки Лиственные и хвойные виды деревьев При стволовом и комлевом типах заселения деревьев При местном типе заселения
Древоточцы, стеклянницы Тополь, ива, осина При наличии двух и более отверстий с буровыми опилками на стволе При единичных отверстиях на стволе и единичном повреждении ветвей
Древесница въедливая Ясень, яблоня При наличии двух и более отверстий с буровыми опилками на стволе При единичных отверстиях на стволе

К защитным мероприятиям по отношению к указанным в табл. 2.3 вредителям относятся санитарная обрезка кроны, удаление пораженных ветвей и побегов, зачистка и обработка ствола и ветвей, химическая обработка и инъецирование деревьев инсектицидами.

Диагностику повреждений деревьев опасными вредителями можно проводить с помощью специальных определителей и учебников (см. список литературы).

обзор сбалансированных деревьев / Хабр

Первая статья цикла

Интро


Во второй статье я приведу обзор характеристик различных сбалансированных деревьев. Под характеристикой я подразумеваю основной принцип работы (без описания реализации операций), скорость работы и дополнительный расход памяти по сравнению с несбаланчированным деревом, различные интересные факты, а так же ссылки на дополнительные материалы.

Красно-черное дерево


Другие названия: Red-black tree, RB tree.
В этой структуре баланс достигается за счет поддержания раскраски вершин в два цвета (красный и черный, как видно из названия :), подчиняющейся следующим правилам:
  1. Красная вершина не может быть сыном красной вершины
  2. Черная глубина любого листа одинакова (черной глубиной называют количество черных вершин на пути из корня)
  3. Корень дерева черный

Здесь мы несколько меняем определение листа, и называем так специальные null-вершины, которые замещают отсутствующих сыновей. Будем считать такие вершины черными.

Пример:

Давайте посмотрим, какой может быть максимальная глубина корректного красно-черного дерева с n вершинами.
Возьмем самый глубокий лист. Пусть он находится на глубине h. Из-за правила 1, как минимум половина вершин на пути из корня будет черными, то есть черная высота дерева будет не меньше h/2. Можно показать, что в таком дереве будет не менее 2^(h/2)-1 черных вершин (так как у каждой черной вершины с черной глубиной k, если она не лист, должно быть как минимум два потомка с черной глубиной k+1). Тогда 2^(h/2)-1 <= n или h <= 2*log2(n+1).

Все основные операции с красно-черным деревом можно реализовать за O(h), то есть O(log n) по доказанному выше. Классическая реализация основана на разборе большого количества случаев и довольно трудна для восприятия. Существуют более простые и понятные варианты, например в статье Криса Окасаки. К сожалению, в ней описана только операция вставки в дерево. Простота по сравнению с классической реализацией получается за счет ориентации на понятность, а не на оптимизацию количества элементарных модификаций дерева (вращений).

Для реализации этого вида сбаласированных деревьев, нужно в каждой вершине хранить дополнительно 1 бит информации (цвет). Иногда это вызывает большой overhead из-за выравнивания. В таких случаях предпочтительно использовать структуры без дополнительных требований к памяти.

Красно-черные деревья широко используются — реализация set/map в стандартных библиотеках, различные применения в ядре Linux (для организации очередей запросов, в ext3 etc.), вероятно во многих других системах для аналогичных нужд.

Красно-черные деревья тесно связаны с B-деревьями. Можно сказать, что они идентичны B-деревьям порядка 4 (или 2-3-4 деревьям). Более подробно об этом можно прочитать в статье на википедии или в книге «Алгоритмы: построение и анализ», упомянутой в прошлой статье.

Статья в википедии
Статья в английской википедии (с описанием операций)
визуализатор красно-черных деревьев

AA-дерево


Модификация красно-черного дерева, в которой накладывается дополнительное ограничение: красная вершина может быть только правым сыном. Если красно-черное дерово изоморфно 2-3-4 дереву, то AA-дерево изоморфно 2-3 дереву.

Из-за дополнительного ограничения операции реализуются проще чем у красно-черного дерева (за счет уменьшения количества разбираемых случаев). Оценка на высоту деревьев остается прежней, 2*log2(n). Эффективность по времени у них примерно одинаковая, но так как в реализации вместо цвета обычно хранят другую характеристику («уровень» вершины), overhead по памяти достигает байта.

Статья в английской википедии

АВЛ-дерево


Названо так по фамилиям придумавших его советских математиков: Г.М. Адельсон-Вельского и Е.М. Ландиса.

Накладывает на дерево следующее ограничение: у любой вершины высоты левого и правого поддеревьев должны отличаться не более чем на 1. Легко доказать по индукции, что дерево с высотой h должно содержать как минимум F_h вершин, где F_i — i-ое число Фибоначчи. Так как F_i ~ phi^n (phi=(sqrt(5)+1)/2 — золотое сечение), высота дерева с n вершинами не может превысить log2(n)/log2(phi) ~ 1.44*log2(n)

Реализация, как и у красно-черного дерева, основана на разборе случаев и достаточно сложна для понимания (хотя имхо проще красно-черного) и имеет сложность O(log(n)) на все основные операции. Для работы необходимо хранить в каждой вершине разницу между высотами левого и правого поддеревьев. Так как она не превосходит 1, достаточно использовать 2 бита на вершину.

Подробное описание можно найти в книге Н. Вирта «Алгоритмы + структуры данных = программы» или в книге А. Шеня «Программирование: теоремы и задачи»

Статья в википедии

Декартово дерево


Другие названия: Cartesian tree, treap (tree+heap), дуча (дерево+куча).

Если рисовать дерево на плоскости, ключ будет соответствовать x-координате вершины (за счет упорядоченности). Тогда можно ввести и y-координату (назавем ее высотой), которая будет обладать следующим свойством: высота вершины больше высоты детей (такое же свойство имеют значения в другой структуре данных на основе двоичных деревьев — куче (heap). Отсюда второй вариант названия той структуры)

Оказывается, если высоты выбирать случайным образом, высота дерева, удовлетворяющего свойству кучи наиболее вероятно будет O(log(n)). Численные эксперименты показывают, что высота получается примерно 3*log(n).

Реализация операций проста и логична, за счет этого структура очень любима в спортивном программировании). По результатам тестирования, признана наиболее эффективной по времени (среди красно-черных, AA и АВЛ — деревьев, а так же skip-list'ов (структура, не являющаяся двоичным деревом, но с аналогичной областью применения) и radix-деревьев). К сожалению, обладает достаточно большим overheadом по памяти (2-4 байта на вершину, на хранение высоты) и неприминима там, где требуется гарантированная производительность (например в ядре ОС).

Splay-дерево


Эта структура данных сильно отличается от всех перечисленных до этого. Дело в том, что оно не накладывает никаких ограничений на структуру дерева. Более того, в процессе работы дерево может оказаться полностью разбалансированным!

Основа splay-дерева — операция splay. Она находит нужную вершину (или ближайшую к ней при отсутствии) и «вытягивает» ее в корень особой последовательностью элементарных вращений (локальная операция над деревом, сохраняющая свойство порядка, но меняющая структуру). Через нее можно легко выразить все оснавные операции с деревом. Последовательность операций в splay подобрана так, чтобы дерево «магически» работало быстро.

Зная магию операции splay, эти деревья реализуются не легко, а очень легко, поэтому они тоже очень популярны в ACM ICPC, Topcoder etc.

Ясно, что в таком дереве нельзя гарантировать сложность операций O(log(n)) (вдруг нас попросят найти глубоко залегшую вершину в несбалансированном на данный момент дереве?). Вместо этого, гарантирается амортизированная сложность операции O(log(n)), то есть любая последовательность из m операций с деревом размера n работает за O((n+m)*log(n)). Более того, splay-дерево обладает некоторыми магическими свойствами, за счет которого оно на практике может оказаться намного эффективнее остальных вариантов. Например, вершины, к которым обращались недавно, оказываются ближе к корню и доступ к ним ускоряется. Более того, доказано что если вероятности обращения к элементам фиксированы, то splay-дерево будет работать асимптотически не медленней любой другой реализации бинарных деревьев. Еще одно преимущество в том, что отсутствует overhead по памяти, так как не нужно хранить никакой дополнительной информации.

В отличие от других вариантов, операция поиска в дереве модифицирует само дерево, поэтому в случае равномерного обращения к элементам splay-дерево будет работать медленней. Однако на практике оно часто дает ощутимый прирост производительности. Тесты это подтверждают — в тестах, полученных на основе Firefox'а, VMWare и Squid'а, splay-дерево показывает прирост производительности в 1.5-2 раза по сравнению с красно-черными и АВЛ- деревьями. В тоже время, на синтетических тестах splay-деревья работают в 1.5 раза медленней. К сожалению, из-за отсутствия гарантий на производительность отдельных операций, splay-деревья неприминимы в realtime-системах (например в ядре ОС, garbage-collector'ах), а так же в библиотеках общего назначения.

Статья в английской википедии
Оригинальная статья Р. Тарьяна и Д. Слейтора

Scapegoat-дерево


Это дерево похоже на предыдущее тем, что у него отсутствует overhead по памяти. Однако это дерево является в полной мере сбалансированным. Более того, коэффициент 0

Коэффициент жесткости сильно влияет на баланс производительности: чем «жестче» дерево, тем меньше у него будет высота и тем быстрее будет работать поиск, но тем сложнее будет поддерживать порядок в операциях модификации. Например, так как АВЛ-дерево «жестче» красно-черного, поиск в нем работает быстрее, а модификация медленней. Если же пользоваться scapegoat-деревом, баланс между этими операциями можно выбирать в зависимости от специфики применения дерева.

Статья в английской википедии

Еще пара слов


Два последних дерева сильно отличаются от своих конкурентов. Например, только они могут использоваться в эффективной реализации структуры данных link/cut tree, использующейся в основе наиболее быстрого известного алгоритма поиска потока в графе. С другой стороны из-за их амортизационной сути они не могут использоваться во многих алгоритмах, в частности для построения ropes. Свойства этих деревьев, особенно splay-дерева, в настоящее время активно изучаются теоретиками.

Кроме сбалансированных деревьев, можно использовать следующий трюк: реализовать обычное бинарное дерево и в процессе работы периодически делать ребалансировку. Для этого существует несколько алгоритмов, например DSW algorithm, работающий за O(n)

В следующей серии


Я расскажу более подробно про декартовы деревья и их реализацию

Общие ссылки


визуализатор деревьев (умеет визуализировать все деревья из обзора)

Стандартное отклонение машинного обучения Python


Что такое стандартное отклонение?

Стандартное отклонение - это число, которое описывает разброс значений.

Низкое стандартное отклонение означает, что большинство чисел близки к среднему (среднему) значению.

Высокое стандартное отклонение означает, что значения разбросаны в более широком диапазоне.

Пример: на этот раз мы зарегистрировали скорость 7 автомобилей:

скорость = [86,87,88,86,87,85,86]

Стандартное отклонение:

Означает, что большинство значений находятся в диапазоне 0.9 от среднего значение, которое составляет 86,4.

Сделаем то же самое с подборкой чисел с более широким диапазоном:

скорость = [32,111,138,28,59,77,97]

Стандартное отклонение:

Это означает, что большинство значений находятся в диапазоне 37,85 от среднего. значение, которое составляет 77,4.

Как видите, более высокое стандартное отклонение указывает на то, что значения распространяются на более широкий диапазон.

В модуле NumPy есть метод вычисления стандартного отклонения:

Пример

Используйте метод NumPy std () , чтобы найти стандартное отклонение:

import numpy

speed = [86,87,88,86,87,85,86]

x = numpy.std (скорость)

печать (x)

Попробуй сам "

Пример

import numpy

speed = [32,111,138,28,59,77,97]

x = numpy.std (speed)

print (x)

Попробуй сам "

Разница

Разница - еще одно число, которое указывает, насколько разбросаны значения.

Фактически, если вы извлечете квадратный корень из дисперсии, вы получите стандартный отклонение!

Или наоборот, если вы умножите стандартное отклонение само на себя, вы получите дисперсия!

Для расчета дисперсии необходимо сделать следующее:

1.Найдите среднее значение:

(32 + 111 + 138 + 28 + 59 + 77 + 97) / 7 = 77,4

2. Для каждого значения: найдите разницу от среднего:

32 - 77,4 = -45,4
111 - 77,4 = 33,6
138 - 77,4 = 60,6
28 - 77,4 = -49,4
59 - 77,4 = -18,4
77 - 77,4 = - 0,4
97 - 77,4 = 19,6

3. Для каждой разницы: найдите значение квадрата:

(-45,4) 2 = 2061,16
(33.6) 2 = 1128,96
(60,6) 2 = 3672,36
(-49,4) 2 = 2440,36
(-18,4) 2 = 338,56
(- 0,4) 2 = 0,16
(19,6) 2 = 384,16

4. Дисперсия - это среднее число этих квадратов разностей:

(2061,16 + 1128,96 + 3672,36 + 2440,36 + 338,56 + 0,16 + 384,16) / 7 = 1432,2

К счастью, у NumPy есть метод для вычисления дисперсии:

Пример

Используйте метод NumPy var () , чтобы найти дисперсию:

import numpy

speed = [32,111,138,28,59,77,97]

x = numpy.var (скорость)

печать (x)

Попробуй сам "

Стандартное отклонение

Как мы узнали, формула для определения стандартного отклонения представляет собой квадратный корень из дисперсии:

Или, как в предыдущем примере, используйте NumPy для вычисления стандартного отклонения:

Пример

Используйте метод NumPy std () , чтобы найти стандартное отклонение:

import numpy

speed = [32,111,138,28,59,77,97]

x = numpy.std (скорость)

печать (x)

Попробуй сам "

Обозначения

Стандартное отклонение

часто обозначается символом сигма: σ

Дисперсия часто обозначается символом Квадрат сигмы: σ 2


Краткое содержание главы

Стандартное отклонение и дисперсия - это термины, которые часто используются в машинном обучении, поэтому важно понимать, как их получить, и понять, что за ними стоит.



.

определение отклонений по The Free Dictionary

Но количество и разнообразие наследуемых отклонений в строении, как незначительных, так и имеющих большое физиологическое значение, бесконечно. Некоторые из наших самых высокоразвитых и способных людей, люди настоящего гения, в первые дни своей жизни испытывали отклонения величиной или даже больше, чем сорок пять минут: и потеря их драгоценных жизней стала бы непоправимым ущербом для государства. Напротив, отклонения от его теории были, по его мнению, единственной причиной всей катастрофы. и с характерным для него радостным сарказмом отмечал: «Вот, я сказал, что все дело пойдет к дьяволу!» Пфуэль был одним из тех теоретиков, которые так любят свою теорию, что упускают из виду ее объект - ее практическое применение.Как я уже сказал вначале, они являются отклонениями их обоих в равной степени от других форм. Лестница была настолько деревянной и прочной, насколько это необходимо, и Аффери шел прямо по ней без каких-либо отклонений, свойственных сновидениям. Таким образом, идти длинным и окольным путем, соблазнив врага с пути, и, хотя и начав преследовать его, чтобы достичь поставленной перед ним цели, свидетельствует о знании уловки ОТКЛОНЕНИЯ. Солнце встало на несомненном востоке и зашло на несомненном западе, исправленное и подтвержденное, конечно, склонением, отклонением и изменением; и ночной марш звезд и созвездий продолжался по небу.Но поскольку в равной степени необходимо учитывать отклонение, которое вращательное движение Земли будет сообщать выстрелу, и поскольку выстрел не может достичь Луны до тех пор, пока не произойдет отклонение, равное 16 радиусам Земли, которое, вычисленное на орбите Луны равны примерно одиннадцати градусам, возникает необходимость прибавить эти одиннадцать градусов к тем, которые выражают только что упомянутое замедление Луны: то есть в круглых числах около шестидесяти четырех градусов ». однако винить его в том, что он отклонился от своего характера, где отклонение необходимо.Неудивительно, что существо, которое так строго относилось к порядочности в своем собственном лице, шокировало малейшее отклонение от этого в другом. Если оно не приземлилось там, должно быть, было какое-то отклонение. Что вызвало это? .

Стандартное отклонение | Как и когда использовать стандартное отклонение выборки и совокупности - мера разброса

стандартное отклонение | Как и когда использовать стандартное отклонение выборки и совокупности - мера разброса | Статистика Лаэрд

Введение

Стандартное отклонение - это мера разброса оценок в наборе данных. Обычно нас интересует стандартное отклонение генеральной совокупности. Однако, поскольку нам часто предоставляются данные только из выборки, мы можем оценить стандартное отклонение генеральной совокупности по стандартному отклонению выборки.Эти два стандартных отклонения - стандартные отклонения выборки и совокупности - рассчитываются по-разному. В статистике нам обычно приходится рассчитывать стандартные отклонения выборки, поэтому именно на этом и будет сосредоточено внимание данной статьи, хотя также будет показана формула для стандартного отклонения генеральной совокупности.

Когда использовать стандартное отклонение выборки или генеральной совокупности

Обычно нас интересует стандартное отклонение генеральной совокупности, потому что наша генеральная совокупность содержит все интересующие нас значения.Следовательно, вы обычно рассчитываете стандартное отклонение генеральной совокупности, если: (1) у вас есть вся генеральная совокупность или (2) у вас есть выборка из большей генеральной совокупности, но вас интересует только эта выборка и вы не хотите обобщать свои результаты на население. Однако в статистике нам обычно предоставляется выборка, по которой мы хотим оценить (обобщить) популяцию, и стандартное отклонение не является исключением. Следовательно, если все, что у вас есть, - это выборка, но вы хотите сделать заявление о стандартном отклонении генеральной совокупности, из которого взята выборка, вам необходимо использовать стандартное отклонение выборки.Часто может возникнуть путаница в отношении того, какое стандартное отклонение использовать из-за того, что название «стандартное отклонение выборки» неправильно интерпретируется как означающее стандартное отклонение самой выборки, а не оценку стандартного отклонения генеральной совокупности, основанную на выборке.

Какой тип данных следует использовать при вычислении стандартного отклонения?

Стандартное отклонение используется вместе со средним значением для обобщения непрерывных данных, а не категориальных данных.Кроме того, стандартное отклонение, как и среднее значение, обычно подходит только в том случае, если непрерывные данные не сильно искажены или имеют выбросы.

Примеры использования стандартного отклонения выборки или генеральной совокупности

Q. Учитель устанавливает экзамен для своих учеников. Учитель хочет суммировать результаты, полученные учениками, в виде среднего и стандартного отклонения. Какое стандартное отклонение следует использовать?

A. Стандартное отклонение населения. Почему? Потому что учителя интересуют только оценки этого класса учеников и никто другой.

Q. Исследователь набрал мужчин в возрасте от 45 до 65 лет для исследования физических упражнений, чтобы изучить маркеры риска сердечных заболеваний (например, холестерин). Какое стандартное отклонение, скорее всего, будет использовано?

A. Стандартное отклонение выборки. Хотя это прямо не указано, исследователь, исследующий вопросы, связанные со здоровьем, не будет интересоваться только участниками своего исследования; они захотят показать, как результаты их выборки могут быть обобщены на все население (в данном случае на мужчин в возрасте от 45 до 65 лет).Следовательно, использование стандартного отклонения выборки.

В. Один из вопросов национального консенсусного опроса касается возраста респондентов. Какое стандартное отклонение было бы использовано для описания разброса во всех возрастных группах, полученного в результате консенсуса?

A. Стандартное отклонение населения. Национальный консенсус используется для получения информации о гражданах страны. По определению, это все население. Следовательно, будет использоваться стандартное отклонение совокупности.

Какие формулы для стандартного отклонения?

Формула стандартного отклонения для выборки :

где,

s = стандартное отклонение выборки
= сумма...
= выборочное среднее
n = количество баллов в выборке.

Формула стандартного отклонения населения :

где,

= стандартное отклонение совокупности
= сумма ...
= среднее значение совокупности
n = количество баллов в выборке.

Есть ли простой способ рассчитать стандартное отклонение?

Да, у нас есть калькулятор стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности, который также показывает, что все работает! Его можно найти в нашем разделе калькуляторов.

Главная О нас Связаться с нами Условия использования Конфиденциальность и файлы cookie © Lund Research Ltd., 2018.

Стандартное отклонение | Пошаговое руководство с формулами

Стандартное отклонение - это средняя величина изменчивости в вашем наборе данных. Он сообщает вам, в среднем, насколько далеко каждое значение от среднего.

Высокое стандартное отклонение означает, что значения обычно далеки от среднего, в то время как низкое стандартное отклонение указывает на то, что значения сгруппированы близко к среднему.

Что вам говорит стандартное отклонение?

Стандартное отклонение - полезная мера разброса для нормальных распределений .

В нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. Большинство значений группируются вокруг центральной области, причем значения сужаются по мере удаления от центра. Стандартное отклонение показывает, насколько в среднем разбросаны ваши данные от центра распределения.

Многие научные переменные подчиняются нормальному распределению, включая рост, результаты стандартизированных тестов или рейтинги удовлетворенности работой. Когда у вас есть стандартные отклонения различных выборок, вы можете сравнить их распределения с помощью статистических тестов, чтобы сделать выводы о более крупных популяциях, из которых они произошли.

Пример: сравнение различных стандартных отклонений. Вы собираете данные об оценках удовлетворенности работой трех групп сотрудников, используя простую случайную выборку.

Средние оценки ( M ) одинаковы для каждой группы - это значение на оси абсцисс, когда кривая находится на пике. Однако их стандартные отклонения ( SD ) отличаются друг от друга.

Стандартное отклонение отражает дисперсию распределения. Кривая с наименьшим стандартным отклонением имеет высокий пик и небольшой разброс, тогда как кривая с наибольшим стандартным отклонением более пологая и широко распространенная.

Эмпирическое правило

Стандартное отклонение и среднее значение вместе могут сказать вам, где находится большинство значений в вашем распределении, если они соответствуют нормальному распределению.

Эмпирическое правило , или правило 68-95-99.7, говорит вам, где находятся ваши ценности:

Пример: стандартное отклонение в нормальном распределении Вы проводите тест на вспоминание памяти для группы студентов. Данные соответствуют нормальному распределению со средним баллом 50 и стандартным отклонением 10.

Следуя эмпирическому правилу:

Эмпирическое правило - это быстрый способ получить обзор ваших данных и проверить любые выбросы или экстремальные значения, которые не соответствуют этому шаблону.

Для ненормальных распределений стандартное отклонение является менее надежным показателем изменчивости и должно использоваться в сочетании с другими показателями, такими как размах или межквартильный размах.

Формулы стандартного отклонения для популяций и выборок

Для расчета стандартных отклонений используются разные формулы в зависимости от того, есть ли у вас данные от всей генеральной совокупности или от выборки.

Стандартное отклонение совокупности

Когда вы собрали данные от каждого члена населения, который вас интересует, вы можете получить точное значение стандартного отклонения населения.

Формула стандартного отклонения населения выглядит так:

Формула Пояснение
  • σ = стандартное отклонение совокупности
  • ∑ = сумма…
  • X = каждое значение
  • μ = среднее значение по совокупности
  • N = количество значений в генеральной совокупности

Стандартное отклонение выборки

Когда вы собираете данные из выборки, стандартное отклонение выборки используется для оценок или выводов о стандартном отклонении генеральной совокупности.

Формула стандартного отклонения для выборки выглядит так:

Формула Пояснение
  • с = стандартное отклонение выборки
  • ∑ = сумма…
  • X = каждое значение
  • x̅ = выборочное среднее
  • n = количество значений в выборке

Для выборок мы используем в формуле n - 1, потому что использование n даст нам смещенную оценку, которая постоянно недооценивает изменчивость.Стандартное отклонение выборки будет, как правило, ниже, чем реальное стандартное отклонение генеральной совокупности.

Уменьшение выборки n до n - 1 делает стандартное отклонение искусственно большим, давая вам консервативную оценку изменчивости.

Хотя это не беспристрастная оценка, это менее смещенная оценка стандартного отклонения: лучше переоценить, чем недооценить изменчивость в выборках.

Какой у вас балл за плагиат?

Сравните свою статью с более чем 60 миллиардами веб-страниц и 30 миллионами публикаций.

Scribbr Проверка на плагиат

Шаги для расчета стандартного отклонения

Стандартное отклонение обычно вычисляется автоматически любым программным обеспечением, которое вы используете для статистического анализа. Но вы также можете рассчитать его вручную, чтобы лучше понять, как работает формула.

Есть шесть основных шагов для определения стандартного отклонения вручную. Мы будем использовать небольшой набор данных из 6 баллов, чтобы пройти через шаги.

Набор данных
46 69 32 60 52 41

Шаг 1 : Найдите среднее значение

Чтобы найти среднее значение, сложите все баллы, затем разделите их на количество баллов.

Среднее (x̅)
x̅ = (46 + 69 + 32 + 60 + 52 + 41) ÷ 6 = 50

Шаг 2 : Найдите отклонение каждой оценки от среднего

Вычтите среднее значение из каждой оценки, чтобы получить отклонения от среднего.

Поскольку x̅ = 50, мы убираем 50 из каждого результата.

Оценка Отклонение от среднего
46 46-50 = -4
69 69-50 = 19
32 32-50 = -18
60 60-50 = 10
52 52-50 = 2
41 41-50 = -9

Шаг 3 : Возвести каждое отклонение от среднего значения в квадрат

Умножьте каждое отклонение от среднего на само себя.Это приведет к положительным числам.

Квадратные отклонения от среднего
(-4) 2 = 4 × 4 = 16
19 2 = 19 × 19 = 361
(-18) 2 = -18 × -18 = 324
10 2 = 10 × 10 = 100
2 2 = 2 × 2 = 4
(-9) 2 = -9 × -9 = 81

Шаг 4 : Найдите сумму квадратов

Сложите все квадраты отклонений.Это называется суммой квадратов.

Сумма квадратов
16 + 361 + 324 + 100 + 4 + 81 = 886

Шаг 5: Найдите отклонение

Разделите сумму квадратов на n - 1 (для выборки) или N (для генеральной совокупности) - это дисперсия.

Поскольку мы работаем с размером выборки 6, мы будем использовать n - 1, где n = 6.

Разница
886 ÷ (6 - 1) = 886 ÷ 5 = 177,2

Шаг 6 : Найдите квадратный корень из дисперсии

Чтобы найти стандартное отклонение, мы извлекаем квадратный корень из дисперсии.

Стандартное отклонение
√177,2 = 13,31

Исходя из того, что SD = 13.31, можно сказать, что каждая оценка отклоняется от среднего значения в среднем на 13,31 балла.

Почему стандартное отклонение является полезным показателем изменчивости?

Хотя существуют более простые способы расчета вариабельности, формула стандартного отклонения позволяет взвешивать неравномерно распределенные образцы больше, чем равномерно распределенные. Более высокое стандартное отклонение говорит о том, что распределение не только более равномерно, но и более неравномерно.

Это означает, что он дает вам лучшее представление об изменчивости ваших данных, чем более простые меры, такие как среднее абсолютное отклонение (MAD).

MAD похож на стандартное отклонение, но его легче вычислить. Сначала вы выражаете каждое отклонение от среднего в абсолютных значениях, преобразовывая их в положительные числа (например, -3 становится 3). Затем вы вычисляете среднее значение этих абсолютных отклонений.

В отличие от стандартного отклонения, вам не нужно вычислять квадраты или квадратные корни чисел для MAD. Однако по этой причине он дает менее точную меру изменчивости.

Давайте возьмем две выборки с одной и той же центральной тенденцией, но с разной степенью изменчивости.Образец B более изменчив, чем образец A.

Значения Среднее Среднее абсолютное отклонение Стандартное отклонение
Образец А 66, 30, 38, 64 50 15 17,5
Образец B 51, 21, 79, 49 50 15 21,1

Для выборок с одинаковыми средними отклонениями от среднего MAD не может различать уровни разброса.Стандартное отклонение более точное: оно выше для выборки с большим разбросом отклонений от среднего.

Возведением разностей в квадрат от среднего стандартное отклонение более точно отражает неравномерную дисперсию. Эта ступень более взвешивает крайние отклонения, чем небольшие отклонения.

Однако это также делает стандартное отклонение чувствительным к выбросам.

Часто задаваемые вопросы о стандартном отклонении

Что вам говорит стандартное отклонение?

Стандартное отклонение - это средняя величина изменчивости в вашем наборе данных.Он сообщает вам, в среднем, насколько далеко каждая оценка отличается от среднего значения.

В нормальных распределениях высокое стандартное отклонение означает, что значения обычно далеки от среднего, в то время как низкое стандартное отклонение указывает, что значения сгруппированы близко к среднему.

Что такое эмпирическое правило?

Эмпирическое правило, или 68-95-99.Правило 7 говорит вам, где большинство значений лежит в нормальном распределении:

  • Около 68% значений находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего.
  • Около 95% значений находятся в пределах 4 стандартных отклонений от среднего.
  • Около 99,7% значений находятся в пределах 6 стандартных отклонений от среднего.

Эмпирическое правило - это быстрый способ получить обзор ваших данных и проверить любые выбросы или экстремальные значения, которые не соответствуют этому шаблону.

.

Стандартное отклонение и дисперсия

Отклонение просто означает, насколько далеко от нормы

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение - это мера того, насколько разброс наши числа есть.

Его символ - σ (греческая буква сигма)

Формула проста: это квадратный корень из дисперсии. Итак, теперь вы спрашиваете: «Что такое дисперсия?»

Разница

Разница определяется как:

Среднее из в квадрате отклонений от среднего.

Для вычисления дисперсии выполните следующие действия:

Пример

Вы и ваши друзья только что измерили рост ваших собак (в миллиметрах):

Высота (в плечах): 600мм, 470мм, 170мм, 430мм и 300 мм.

Найдите среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.

Ваш первый шаг - найти среднее значение:

Ответ:

Среднее значение = 600 + 470 + 170 + 430 + 300 5
= 1970 5
= 394

, поэтому средняя (средняя) высота составляет 394 мм.Нарисуем это на графике:

Теперь посчитаем разницу для каждой собаки со Средним значением:

Чтобы вычислить дисперсию, возьмите каждую разницу, возведите ее в квадрат и затем усредните результат:

Разница
σ 2 = 206 2 + 76 2 + (−224) 2 + 36 2 + (−94) 2 5
= 42436 + 5776 + 50176 + 1296 + 8836 5
= 108520 5
= 21704

Таким образом, отклонение составляет 21,704

А стандартное отклонение - это просто квадратный корень из дисперсии, итак:

Стандартное отклонение
σ = √21704
= 147.32 ...
= 147 (с точностью до мм)

И стандартное отклонение хорошо то, что оно полезно. Теперь мы можем показать, какие высоты находятся в пределах одного стандартного отклонения. (147 мм) среднего:

Итак, используя стандартное отклонение, мы имеем "стандарт" способ узнать, что нормально, а что очень большое или лишнее небольшой.

Ротвейлеры - это высоких собак. А таксы стоят немного короче, правда?

Использование

Можно ожидать, что около 68% значений будут в пределах плюс-минус. 1 стандартное отклонение.

Прочтите Стандартное нормальное распределение, чтобы узнать больше.

Также попробуйте калькулятор стандартного отклонения.

Но ... есть небольшое изменение с Sample Data

Наш пример был для популяции (5 собак - единственные собаки, которые нас интересуют).

Но если данные представляют собой образец (выборка, взятая из более крупной совокупности), тогда расчет меняется!

Если у вас есть N значений данных, которые:

Все остальные вычисления остаются такими же, включая то, как мы вычислили среднее значение.

Пример: если наши 5 собак - это всего лишь выборка из большей популяции собак, мы делим на 4 вместо 5 следующим образом:

Выборочная дисперсия = 108,520 / 4 = 27,130

Стандартное отклонение выборки = √27,130 = 165 (с точностью до мм)

Думайте об этом как о «исправлении», когда ваши данные - это всего лишь образец.

Формулы

Вот две формулы, объясненные в разделе Формулы стандартного отклонения, если вы хотите узнать больше:


« Население стандартное отклонение»:

« Sample Standard Deviation »:

Выглядит сложно, но важным изменением является разделение
на N-1 (вместо N ) при вычислении дисперсии выборки.

* Сноска: Почему квадрат различия?

Если мы просто сложим отличия от среднего ... отрицательные значения отменят положительные:

4 + 4 - 4 - 4 4 = 0

Так что это не сработает. Как насчет того, чтобы использовать абсолютные значения?

| 4 | + | 4 | + | −4 | + | −4 | 4 = 4 + 4 + 4 + 4 4 = 4

Выглядит хорошо (и является средним отклонением), но как насчет этого случая:

| 7 | + | 1 | + | −6 | + | −2 | 4 = 7 + 1 + 6 + 2 4 = 4

О нет! Это также дает значение 4, Хотя различия более разрозненные.

Итак, давайте попробуем возвести в квадрат каждую разницу (и извлечь в конце квадратный корень):

√ ( 4 2 + 4 2 + (-4) 2 + (-4) 2 4 ) = √ ( 64 4 ) = 4
√ ( 7 2 + 1 2 + (-6) 2 + (-2) 2 4 ) = √ ( 90 4 ) = 4.74 ...

Это хорошо! Стандартное отклонение больше, чем больше различий ... как раз то, что мы хотим.

На самом деле этот метод аналогичен расстоянию между точками, но применяется по-другому.

И проще использовать алгебру для вычисления квадратов и квадратных корней, чем абсолютные значения, что позволяет легко использовать стандартное отклонение в других областях математики.

Вернуться к началу

.

определение отклонения от The Free Dictionary

За каждым его движением ревностно наблюдает полиция, пока он не достигнет совершеннолетия и не явится для проверки; затем он либо уничтожается, если обнаруживается, что он превышает установленный предел отклонения, либо замурован в правительственном учреждении в качестве клерка седьмого класса; запретили вступать в брак; вынужден тратить силы на неинтересное занятие за мизерное вознаграждение; вынужден жить и питаться в офисе и даже брать отпуск под пристальным наблюдением; Что за удивление, что человеческая природа, даже в самом лучшем и чистом виде, ожесточается и извращается подобным окружением! »Таким образом, идти длинным и окольным путем, соблазнив врага с пути и начав преследовать его, умудриться достигнуть цели перед ним, показывает знание уловки ОТКЛОНЕНИЯ.Солнце взошло на несомненном востоке и зашло на несомненном западе, исправленное и подтвержденное, конечно, склонением, отклонением и изменением; и ночной марш звезд и созвездий продолжался по небу, но, поскольку в равной степени необходимо учитывать отклонение, которое вращательное движение земли будет сообщать выстрелу, и поскольку выстрел не может достичь Луны, пока после отклонения, равного 16 радиусам Земли, которые в пересчете на орбиту Луны равны примерно одиннадцати градусам, становится необходимым добавить эти одиннадцать градусов к тем, которые выражают только что упомянутое замедление Луны, то есть , в круглых числах, около шестидесяти четырех градусов."Однако не обвиняйте его в том, что он отклонился от своего характера там, где это отклонение необходимо. Неудивительно, что существо, которое так строго относилось к порядочности в своей собственной персоне, должно быть шокировано малейшим отклонением от него. в другом. Если он не приземлился там, должно было быть какое-то отклонение. Что его вызвало? Каждый справедливый рассудитель, на первый взгляд, одобрит соблюдение этого правила в работе конвенции; и не одобрят всех отклонение от него, которое может показаться не продиктованным необходимостью включения в произведение какого-либо конкретного ингредиента, с которым строгое соблюдение правила было несовместимо.Но количество и разнообразие наследуемых отклонений в строении, как незначительных, так и имеющих большое физиологическое значение, бесконечно. Напротив, отклонения от его теории были, по его мнению, единственной причиной всей катастрофы, и с характерным для него радостным сарказмом он отмечал: «Вот, я сказал, что все дело пойдет к дьяволу!» Пфуэль был одним из тех теоретиков, которые так любят свою теорию, что упускают из виду ее объект - ее практическое применение.Нет, они оба в равной степени отклонения от других форм, как я сказал вначале. Лестница была настолько деревянной и прочной, насколько это необходимо, и Аффери спускался прямо по ней без каких-либо отклонений, свойственных сновидениям. .

Смотрите также

Сайт о Бане - проект, посвященный строительству, эксплуатации и уходу за русской баней. Большой сборник статей, который может быть полезен любому любителю бани

Содержание, карта сайта.