Что такое дерево в информатике


Деревья. Основные понятия






Содержание урока

Что такое дерево?

Деревья поиска

Обход двоичного дерева

Вычисление арифметических выражений

Использование связанных структур

Хранение двоичного дерева в массиве

Вопросы и задания

Задачи


Что такое дерево?

Как вы знаете из учебника 10 класса, дерево — это структура, отражающая иерархию (отношения подчинённости, многоуровневые связи). Напомним некоторые основные понятия, связанные с деревьями.

Дерево состоит из узлов и связей между ними (они называются дугами). Самый первый узел, расположенный на верхнем уровне (в него не входит ни одна стрелка-дуга), — это корень дерева. Конечные узлы, из которых не выходит ни одна дуга, называются листьями. Все остальные узлы, кроме корня и листьев, — это промежуточные узлы.

Из двух связанных узлов тот, который находится на более высоком уровне, называется родителем, а другой — сыном. Корень — это единственный узел, у которого нет родителя; у листьев нет сыновей.

Используются также понятия «предок» и «потомок». Потомок какого-то узла — это узел, в который можно перейти по стрелкам от узла-предка. Соответственно, предок какого-то узла — это узел, из которого можно перейти по стрелкам в данный узел.

В дереве на рис. 6.11 родитель узла Е — это узел В, а предки узла Е — это узлы А и В, для которых узел Е — потомок. Потомками узла А (корня дерева) являются все остальные узлы.

Высота дерева — это наибольшее расстояние (количество дуг) от корня до листа.

Высота дерева, приведённого на рис. 6.11, равна 2.

Рис. 6.11

Формально дерево можно определить следующим образом:

1) пустая структура — это дерево;
2) дерево — это корень и несколько связанных с ним отдельных (не связанных между собой) деревьев.

Здесь множество объектов (деревьев) определяется через само это множество на основе простого базового случая (пустого дерева). Такой приём называется рекурсией (см. главу 8 учебника для 10 класса). Согласно этому определению, дерево — это рекурсивная структура данных. Поэтому можно ожидать, что при работе с деревьями будут полезны рекурсивные алгоритмы.

Чаще всего в информатике используются двоичные (или бинарные) деревья, т. е. такие, в которых каждый узел имеет не более двух сыновей. Их также можно определить рекурсивно.

Двоичное дерево:

1) пустая структура — это двоичное дерево;
2) двоичное дерево — это корень и два связанных с ним отдельных двоичных дерева (левое и правое поддеревья).

Деревья широко применяются в следующих задачах:

• поиск в большом массиве неменяющихся данных;
• сортировка данных;
• вычисление арифметических выражений;
• оптимальное кодирование данных (метод сжатия Хаффмана).

Следующая страница Деревья поиска

Cкачать материалы урока

Структура данных B-дерево / Блог компании OTUS. Онлайн-образование / Хабр

Всем привет! Мы запустили новый набор на курс «Алгоритмы для разработчиков» и сегодня хотим поделиться интересным переводом, подготовленным для студентов данного курса.

В деревьях поиска, таких как двоичное дерево поиска, AVL дерево, красно-чёрное дерево и т.п. каждый узел содержит только одно значение (ключ) и максимум двое потомков. Однако есть особый тип дерева поиска, который называется B-дерево (произносится как Би-дерево). В нем узел содержит более одного значения (ключа) и более двух потомков. B-дерево было разработано в 1972 году Байером и МакКрейтом и называлось Сбалансированное по высоте дерево поиска порядка m (Height Balanced m-way Search Tree). Свое современное название B-дерево получило позже.

B-дерево можно определить следующим образом:
B-дерево – это сбалансированное дерево поиска, в котором каждый узел содержит множество ключей и имеет более двух потомков.

Здесь количество ключей в узле и количество его потомков зависит от порядка B-дерева. Каждое B-дерево имеет порядок.

B-дерево порядка m обладает следующими свойствами:

Свойство 1: Глубина всех листьев одинакова.
Свойство 2: Все узлы, кроме корня должны иметь как минимум (m/2) – 1 ключей и максимум m-1 ключей.
Свойство 3: Все узлы без листьев, кроме корня (т.е. все внутренние узлы), должны иметь минимум m/2 потомков.
Свойство 4: Если корень – это узел не содержащий листьев, он должен иметь минимум 2 потомка.
Свойство 5:Узел без листьев с n-1 ключами должен иметь n потомков.
Свойство 6: Все ключи в узле должны располагаться в порядке возрастания их значений.

Например, B-дерево 4 порядка содержит максимум 3 значения ключа и максимум 4 потомка для каждого узла.


B-дерево 4 порядка

Операции над B-деревом

Над B-деревом можно проводить следующие операции:

  1. Поиск
  2. Вставка
  3. Удаление

Поиск по B-дереву

Поиск по B-дереву аналогичен поиску по двоичному дереву поиска. В двоичном дереве поиска поиск начинается с корня и каждый раз принимается двустороннее решение (пойти по левому поддереву или по правому). В В-дереве поиск также начинается с корневого узла, но на каждом шаге принимается n-стороннее решение, где n – это общее количество потомков рассматриваемого узла. В В-дереве сложность поиска составляет O(log n). Поиск происходит следующим образом:

Шаг 1: Считать элемент для поиска.
Шаг 2: Сравнить искомый элемент с первым значением ключа в корневом узле дерева.
Шаг 3: Если они совпадают, вывести: «Искомый узел найден!» и завершить поиск.
Шаг 4: Если они не совпадают, проверить больше или меньше значение элемента, чем текущее значение ключа.
Шаг 5: Если искомый элемент меньше, продолжить поиск по левому поддереву.
Шаг 6: Если искомый элемент больше, сравнить элемент со следующим значением ключа в узле и повторять Шаги 3, 4, 5 и 6 пока не будет найдено совпадение или пока искомый элемент не будет сравнен с последним значением ключа в узле-листе.
Шаг 7: Если последнее значение ключа в узле-листе не совпало с искомым, вывести «Элемент не найден!» и завершить поиск.

Операция вставки в B-дерево

В В-дереве новый элемент может быть добавлен только в узел-лист. Это значит, что новая пара ключ-значение всегда добавляется только к узлу-листу. Вставка происходит следующим образом:

Шаг 1: Проверить пустое ли дерево.
Шаг 2: Если дерево пустое, создать новый узел с новым значением ключа и его принять за корневой узел.
Шаг 3: Если дерево не пустое, найти подходящий узел-лист, к которому будет добавлено новое значение, используя логику дерева двоичного поиска.
Шаг 4: Если в текущем узле-листе есть незанятая ячейка, добавить новый ключ-значение к текущему узлу-листу, следуя возрастающему порядку значений ключей внутри узла.
Шаг 5: Если текущий узел полон и не имеет свободных ячеек, разделите узел-лист, отправив среднее значение родительскому узлу. Повторяйте шаг, пока отправляемое значение не будет зафиксировано в узле.
Шаг 6: Если разделение происходит с корнем дерева, тогда среднее значение становится новым корнем дерева и высота дерева увеличивается на единицу.

Пример:

Давайте создадим B-дерево порядка 3, добавляя в него числа от 1 до 10.

Insert(1):
Поскольку «1» — это первый элемент дерева – он вставляется в новый узел и этот узел становится корнем дерева.

Insert(2):
Элемент «2» добавляется к существующему узлу-листу. Сейчас у нас всего один узел, следовательно он является и корнем и листом одновременно. В этом листе имеется пустая ячейка. Тогда «2» встает в эту пустую ячейку.

Insert(3):
Элемент «3» добавляется к существующему узлу-листу. Сейчас у нас только один узел, который одновременно является и корнем и листом. У этого листа нет пустой ячейки. Поэтому мы разделяем этот узел, отправляя среднее значение (2) в родительский узел. Однако у текущего узла родительского узла нет. Поэтому среднее значение становится корневым узлом дерева.

Insert(4):
Элемент «4» больше корневого узла со значением «2», при этом корневой узел не является листом. Поэтому мы двигаемся по правому поддереву от «2». Мы приходим к узлу-листу со значением «3», у которого имеется пустая ячейка. Таким образом, мы можем вставить элемент «4» в эту пустую ячейку.

Insert(5):
Элемент «5» больше корневого узла со значением «2», при этом корневой узел не является листом. Поэтому мы двигаемся по правому поддереву от «2». Мы приходим к узлу-листу и обнаруживаем, что он уже полон и не имеет пустых ячеек. Тогда мы делим этот узел, отправляя среднее значение (4) в родительский узел (2). В родительском узле есть для него пустая ячейка, поэтому значение «4» добавляется к узлу, в котором уже есть значение «2», а новый элемент «5» добавляется в качестве нового листа.

Insert(6):
Элемент «6» больше, чем элементы корня «2» и «4», который не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4». Мы достигаем листа со значением «5», у которого есть пустая ячейка, поэтому элемент «6» помещаем как раз в нее.

Insert(7):
Элемент «7» больше, чем элементы корня «2» и «4», который не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4». Мы достигаем узла-листа и видим, что он полон. Мы делим этот узел, отправляя среднее значение «6» вверх к родительскому узлу с элементами «2» и «4». Однако родительский узел тоже полон, поэтому мы делим узел с элементами «2» и «4», отправляя значение «4» родительскому узлу. Только вот этого узла еще нет. В таком случае узел с элементом «4» становится новым корнем дерева.

Insert(8):
Элемент «8» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значением «6». «8» больше «6» и узел с элементом «6» не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «6». Мы достигаем узла-листа с «7», у которого есть пустая ячейка, поэтому в нее мы помещаем «8».

Insert(9):
Элемент «9» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значением «6». «9» больше «6» и узел с элементом «6» не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «6». Мы достигаем узла-листа со значениями «7» и «8». Он полон. Мы делим этот узел, отправляя среднее значение (8) родительскому узлу. Родительский узел «6» имеет пустую ячейку, поэтому мы помещаем «8» в нее. При этом новый элемент «9» добавляется в узел-лист.

Insert(10):
Элемент «10» больше корневого узла со значением «4», при этом корневой узел не является листом. Мы двигаемся по правому поддереву от элемента «4» и приходим к узлу со значениями «6» и «8». «10» больше «6» и «8» и узел с этими элементами не является листом, поэтому двигаемся по правому поддереву от «8». Мы достигаем узла-листа со значением «9». У него есть пустая ячейка, поэтому туда мы помещаем «10».

Предлагаем вам самостоятельно на практике понять, как устроены В-деревья, воспользовавшись этой визуализацией.

Ждем всех на бесплатном открытом уроке, который пройдет уже 12 июля. До встречи!

B-tree / Хабр

Введение

Деревья представляют собой структуры данных, в которых реализованы операции над динамическими множествами. Из таких операций хотелось бы выделить — поиск элемента, поиск минимального (максимального) элемента, вставка, удаление, переход к родителю, переход к ребенку. Таким образом, дерево может использоваться и как обыкновенный словарь, и как очередь с приоритетами.

Основные операции в деревьях выполняются за время пропорциональное его высоте. Сбалансированные деревья минимизируют свою высоту (к примеру, высота бинарного сбалансированного дерева с n узлами равна log n). Большинство знакомо с такими сбалансированными деревьями, как «красно-черное дерево», «AVL-дерево», «Декартово дерево», поэтому не будем углубляться.

В чем же проблема этих стандартных деревьев поиска? Рассмотрим огромную базу данных, представленную в виде одного из упомянутых деревьев. Очевидно, что мы не можем хранить всё это дерево в оперативной памяти => в ней храним лишь часть информации, остальное же хранится на стороннем носителе (допустим, на жестком диске, скорость доступа к которому гораздо медленнее). Такие деревья как красно-черное или Декартово будут требовать от нас log n обращений к стороннему носителю. При больших n это очень много. Как раз эту проблему и призваны решить B-деревья!

B-деревья также представляют собой сбалансированные деревья, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте. Но, в отличие от остальных деревьев, они созданы специально для эффективной работы с дисковой памятью (в предыдущем примере – сторонним носителем), а точнее — они минимизируют обращения типа ввода-вывода.

Структура

При построении B-дерева применяется фактор t, который называется минимальной степенью. Каждый узел, кроме корневого, должен иметь, как минимум t – 1, и не более 2t – 1 ключей. Обозначается n[x] – количество ключей в узле x.

Ключи в узле хранятся в неубывающем порядке. Если x не является листом, то он имеет n[x] + 1 детей. Если занумеровать ключи в узле x, как k[i], а детей c[i], то для любого ключа в поддереве с корнем c[i] (пусть k1), выполняется следующее неравенство – k[i-1] ≤k1≤k[i] (для c[0]: k[i-1] = -∞, а для c[n[x]]: k[i] = +∞). Таким образом, ключи узла задают диапазон для ключей их детей.

Все листья B-дерева должны быть расположены на одной высоте, которая и является высотой дерева. Высота B-дерева с n ≥ 1 узлами и минимальной степенью t ≥ 2 не превышает logt(n+1). Это очень важное утверждение (почему – мы поймем чуть позже)!

h ≤ logt((n+1)/2) — логарифм по основанию t.

Операции, выполнимые с B-деревом

Как упоминалось выше, в B-дереве выполняются все стандартные операции по поиску, вставке, удалению и т.д.
Поиск

Поиск в B-дереве очень схож с поиском в бинарном дереве, только здесь мы должны сделать выбор пути к потомку не из 2 вариантов, а из нескольких. В остальном — никаких отличий. На рисунке ниже показан поиск ключа 27. Поясним иллюстрацию (и соответственно стандартный алгоритм поиска):

Операция поиска выполняется за время O(t logt n), где t – минимальная степень. Важно здесь, что дисковых операций мы совершаем всего лишь O(logt n)!

Добавление

В отличие от поиска, операция добавления существенно сложнее, чем в бинарном дереве, так как просто создать новый лист и вставить туда ключ нельзя, поскольку будут нарушаться свойства B-дерева. Также вставить ключ в уже заполненный лист невозможно => необходима операция разбиения узла на 2. Если лист был заполнен, то в нем находилось 2t-1 ключей => разбиваем на 2 по t-1, а средний элемент (для которого t-1 первых ключей меньше его, а t-1 последних больше) перемещается в родительский узел. Соответственно, если родительский узел также был заполнен – то нам опять приходится разбивать. И так далее до корня (если разбивается корень – то появляется новый корень и глубина дерева увеличивается). Как и в случае обычных бинарных деревьев, вставка осуществляется за один проход от корня к листу. На каждой итерации (в поисках позиции для нового ключа – от корня к листу) мы разбиваем все заполненные узлы, через которые проходим (в том числе лист). Таким образом, если в результате для вставки потребуется разбить какой-то узел – мы уверены в том, что его родитель не заполнен!

На рисунке ниже проиллюстрировано то же дерево, что и в поиске (t=3). Только теперь добавляем ключ «15». В поисках позиции для нового ключа мы натыкаемся на заполненный узел (7, 9, 11, 13, 16). Следуя алгоритму, разбиваем его – при этом «11» переходит в родительский узел, а исходный разбивается на 2. Далее ключ «15» вставляется во второй «отколовшийся» узел. Все свойства B-дерева сохраняются!

Операция добавления происходит также за время O(t logt n). Важно опять же, что дисковых операций мы выполняем всего лишь O(h), где h – высота дерева.

Удаление

Удаление ключа из B-дерева еще более громоздкий и сложный процесс, чем вставка. Это связано с тем, что удаление из внутреннего узла требует перестройки дерева в целом. Аналогично вставке необходимо проверять, что мы сохраняем свойства B-дерева, только в данном случае нужно отслеживать, когда ключей t-1 (то есть, если из этого узла удалить ключ – то узел не сможет существовать). Рассмотрим алгоритм удаления:
1)Если удаление происходит из листа, то необходимо проверить, сколько ключей находится в нем. Если больше t-1, то просто удаляем и больше ничего делать не нужно. Иначе, если существует соседний лист (находящийся рядом с ним и имеющий такого же родителя), который содержит больше t-1 ключа, то выберем ключ из этого соседа, который является разделителем между оставшимися ключами узла-соседа и исходного узла (то есть не больше всех из одной группы и не меньше всех из другой). Пусть это ключ k1. Выберем ключ k2 из узла-родителя, который является разделителем исходного узла и его соседа, который мы выбрали ранее. Удалим из исходного узла нужный ключ (который необходимо было удалить), спустим k2 в этот узел, а вместо k2 в узле-родителе поставим k1. Чтобы было понятнее ниже представлен рисунок (рис.1), где удаляется ключ «9». Если же все соседи нашего узла имеют по t-1 ключу. То мы объединяем его с каким-либо соседом, удаляем нужный ключ. И тот ключ из узла-родителя, который был разделителем для этих двух «бывших» соседей, переместим в наш новообразовавшийся узел (очевидно, он будет в нем медианой).
Рис. 1.

2)Теперь рассмотрим удаление из внутреннего узла x ключа k. Если дочерний узел, предшествующий ключу k содержит больше t-1 ключа, то находим k1 – предшественника k в поддереве этого узла. Удаляем его (рекурсивно запускаем наш алгоритм). Заменяем k в исходном узле на k1. Проделываем аналогичную работу, если дочерний узел, следующий за ключом k, имеет больше t-1 ключа. Если оба (следующий и предшествующий дочерние узлы) имеют по t-1 ключу, то объединяем этих детей, переносим в них k, а далее удаляем k из нового узла (рекурсивно запускаем наш алгоритм). Если сливаются 2 последних потомка корня – то они становятся корнем, а предыдущий корень освобождается. Ниже представлен рисунок (рис.2), где из корня удаляется «11» (случай, когда у следующего узла больше t-1 ребенка).
Рис.2.

Операция удаления происходит за такое же время, что и вставка O(t logt n). Да и дисковых операций требуется всего лишь O(h), где h – высота дерева.

Итак, мы убедились в том, что B-дерево является быстрой структурой данных (наряду с такими, как красно-черное, АВЛ). И еще одно важное свойство, которое мы получили, рассмотрев стандартные операции, – автоматическое поддержание свойства сбалансированности – заметим, что мы нигде не балансируем его специально.

Базы Данных

Проанализировав, вместе со скоростью выполнения, количество проведенных операций с дисковой памятью, мы можем сказать, что B-дерево несомненно является более выгодной структурой данных для случаев, когда мы имеем большой объем информации.

Очевидно, увеличивая t (минимальную степень), мы увеличиваем ветвление нашего дерева, а следовательно уменьшаем высоту! Какое же t выбрать? — Выбираем согласно размеру оперативной памяти, доступной нам (т.е. сколько ключей мы можем единовременно просматривать). Обычно это число находится в пределах от 50 до 2000. Разберёмся, что же дает нам ветвистость дерева на стандартном примере, который используется во всех статьях про B-tree. Пусть у нас есть миллиард ключей, и t=1001. Тогда нам потребуется всего лишь 3 дисковые операции для поиска любого ключа! При этом учитываем, что корень мы можем хранить постоянно. Теперь видно, на сколько это мало!

Также, мы читаем не отдельные данные с разных мест, а целыми блоками. Перемещая узел дерева в оперативную память, мы перемещаем выделенный блок последовательной памяти, поэтому эта операция достаточно быстро работает.

Соответственно, мы имеем минимальную нагрузку на сервер, и при этом малое время ожидания. Эти и другие описанные преимущества позволили B-деревьям стать основой для индексов, базирующихся на деревьях в СУБД.

Upd: визуализатор

Литература

«Алгоритмы. Построение и анализ» Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн (второе издание)
«Искусство программирование. Сортировка и поиск» Дональд Кнут.

Хранение данных в дереве. Это как вообще?

Эта ста­тья из обла­сти «Как быва­ет». Она доволь­но слож­ная, но может суще­ствен­но рас­ши­рить ваши гори­зон­ты в вопро­сах ком­пью­те­ров, дан­ных и про­грам­ми­ро­ва­ния. Ста­тья вдох­нов­ле­на нашим раз­го­во­ром с Рома­ном Хал­ке­че­вым — руко­во­ди­те­лем направ­ле­ния ана­ли­ти­ки в «Еде» и «Лав­ке». Про­чи­тай­те, там инте­рес­ное о дата-сайенсе, машин-лёрнинге и карьер-билдинге.

Формальное определение

Trie (пре­фикс­ное дере­во, бор, или нагру­жен­ное дере­во) — это струк­ту­ра дан­ных, n-арное дере­во, в узлах кото­ро­го хра­нят­ся не клю­чи, а сим­во­лы. А ключ — это путь от кор­ня дере­ва до это­го узла. Пока слож­но. Теперь по порядку. 

Почти всё, чем мы поль­зу­ем­ся в интер­не­те, — это дан­ные: лич­ная инфор­ма­ция поль­зо­ва­те­лей, спи­сок това­ров и поку­пок, кар­тин­ки и текст для вёрст­ки, исто­рия поис­ко­вых запро­сов. Эти дан­ные надо как-то хра­нить, что­бы в опре­де­лён­ный момент быст­ро подой­ти и достать нужные.

Напри­мер, часто дан­ные хра­нят­ся в таб­ли­цах. Это не един­ствен­ный спо­соб, но доволь­но рас­про­стра­нён­ный и инту­и­тив­но понят­ный. Напри­мер, у нас есть инфор­ма­ция о струк­ту­ре ком­па­нии. В таб­ли­це она будет выгля­деть так:

Назва­ние должности Кому под­чи­ня­ет­ся Кто в подчинении
Гене­раль­ный директор

Тех­ни­че­ский директор

Дирек­тор по маркетингу

Тех­ни­че­ский директор Гене­раль­но­му директору

Тим­лид фронтенд-команды

Тим­лид бэкенд-команды

Дирек­тор по маркетингу Гене­раль­но­му директору

Арт-директор

SMM-менеджер

Руко­во­ди­тель отде­ла продаж Гене­раль­но­му директору
Тим­лид фрон­тенд команды Тех­ни­че­ско­му директору
Тим­лид бэкенд команды Тех­ни­че­ско­му директору
Арт-директор Дирек­то­ру по маркетингу
SMM-менеджер Дирек­то­ру по маркетингу

В целом понят­но, но слож­но пред­ста­вить, что кто-то будет поль­зо­вать­ся таким спо­со­бом запи­си: это неудоб­но. Такие дан­ные про­ще пред­ста­вить в виде дерева:


Та же самая инфор­ма­ция в виде дере­ва — намно­го нагляд­нее и понятнее 

Вот мы столк­ну­лись с поня­ти­ем струк­ту­ры данных.

👉 Струк­ту­ра дан­ных — это то, как хра­нят­ся дан­ные. Дере­во — одна из воз­мож­ных струк­тур дан­ных. Ещё есть свя­зан­ные спис­ки, сте­ки, оче­ре­ди, мно­же­ства, хеш-таблицы, кар­ты и даже кучи (heap). Сей­час раз­бе­рём имен­но деревья.

Дерево

Дере­во состо­ит из узлов и свя­зей меж­ду ними. Самый верх­ний узел, из кото­ро­го начи­на­ет­ся дере­во, назы­ва­ют кор­не­вым. Если из узла выхо­дят дру­гие, то их назы­ва­ют потом­ка­ми, или детьми. Узлы вто­ро­го уров­ня — потом­ки кор­не­во­го узла. Если у узла нет детей, то его назы­ва­ют листом.


Струк­ту­ра дерева 

Двоичное дерево

Дво­ич­ное дере­во — это тоже дере­во, но у каж­до­го узла может быть толь­ко два потом­ка. Что­бы рас­пре­де­лять дан­ные в таком дере­ве, исполь­зу­ют пра­ви­ло: если новое зна­че­ние мень­ше, чем зна­че­ние узла, то оно ста­но­вит­ся левым ребён­ком, а если боль­ше, то правым.

Давай­те на при­ме­ре: рас­ста­вим чис­ла 3, 1, 5, 2 и 4 в виде дво­ич­но­го дере­ва. Добав­лять узлы будем имен­но в таком порядке.

3 — кор­не­вой узел, самый верх­ний. Теперь нуж­но доба­вить 1. 1 < 3, зна­чит, ста­но­вит­ся его левым потом­ком. Теперь 5. 5 > 3, зна­чит, ста­но­вит­ся пра­вым потом­ком. Теперь 2. 2 < 3, зна­чит, идём нале­во. 2 > 1, зна­чит, ста­но­вит­ся его пра­вым потом­ком. Теперь 4. 4 > 3, так что идём напра­во. 4 < 5, так что ста­но­вит­ся его левым ребён­ком. Вот так вот:


Бинар­ное, или дво­ич­ное дерево 

Если в дере­ве не циф­ры, а стро­ки, то мож­но срав­ни­вать их по алфа­ви­ту. Пер­вая бук­ва потом­ка по алфа­ви­ту рань­ше, чем у узла — ста­вим потом­ка сле­ва. И наоборот.

Из-за такой струк­ту­ры по бинар­ным дере­вьям удоб­но искать: нуж­но срав­нить запрос с теку­щим узлом, а потом пой­ти напра­во или нале­во. Напри­мер, вот бинар­ное дере­во с цита­той из тре­ка «Касты»:


И один из них я сам, иду в цен­траль­ный парк 

Допу­стим, мы хотим най­ти в этом дере­ве сло­во «зевак». Полу­ча­ет­ся такой путь:

Шаг 1. Смот­рим на корень дере­ва — «Любовь». Это то, что мы ищем? Нет. Иско­мое зна­че­ние боль­ше или мень­ше? Мень­ше, пото­му что «з» в алфа­ви­те рань­ше, чем «л». Идём налево.

Шаг 2. Смот­рим на лево­го потом­ка — «для». Это то, что мы ищем? Нет. Иско­мое зна­че­ние боль­ше или мень­ше? Боль­ше, пото­му что «з» в алфа­ви­те поз­же, чем «д». Идём направо.

Шаг 3. Смот­рим на пра­во­го потом­ка — «зевак». Это то, что мы ищем? Да. Отлич­но, мы на месте.

Вы навер­ня­ка поль­зо­ва­лись сло­ва­ря­ми — орфо­гра­фи­че­ски­ми или тол­ко­вым. Там поиск рабо­та­ет похо­жим обра­зом: мы ищем какое-то сло­во и для это­го срав­ни­ва­ем его с теми, на кото­рые наты­ка­ем­ся, пока пере­ли­сты­ва­ем стра­ни­цы. И потом листа­ем сло­варь впе­рёд или назад, если недо­ли­ста­ли или пере­ли­ста­ли, дви­га­ем­ся вниз по дво­ич­но­му дереву.

N-арное дерево

На дере­ве со струк­ту­рой ком­па­нии мы виде­ли, что у узла может быть не толь­ко два, но и боль­ше потом­ков. Такие дере­вья назы­ва­ют n-арными — у узлов в нём может быть n детей: и 1, и 5, и 200.

N-арное дере­во может, напри­мер, изоб­ра­жать струк­ту­ру сай­та. Вот так:


У узлов раз­ное коли­че­ство потом­ков: с «Глав­ной» мож­но перей­ти на 3 стра­ни­цы, из «Бло­га» — на мно­же­ство ста­тей, из «Услуг» на B2B-услуги и B2C-услуги 

Trie

Trie — это при­мер n-арного дере­ва. Но в его узлах хра­нят­ся не клю­чи, а сим­во­лы. Что это значит?

Когда мы смот­рим на кар­ту сай­та, мы видим понят­ные зна­че­ния: ссыл­ки на «Ста­тью 1», «О ком­па­нии» или «B2B-услуги». Это и есть клю­чи — кон­крет­ные ука­за­те­ли на то, что мы ищем. В Trie в узлах таких клю­чей нет. Обыч­но там лежат стро­ки, напри­мер бук­вы. Вот как может выгля­деть Trie:


В этом дере­ве лежат клю­чи «Бог», «Бор», «Бег», «Бы», «Буй» и «Бунт»

Ключ в Trie — это не узел, а путь от кор­ня до опре­де­лён­но­го узла. У каж­до­го узла есть допол­ни­тель­ная харак­те­ри­сти­ка, кото­рая ука­зы­ва­ет, явля­ет­ся ли этот узел конеч­ной точ­кой или про­ме­жу­точ­ным зна­че­ни­ем. На дере­ве выше это зелё­ные и белые узлы: так ком­пью­тер зна­ет, что «Бунт» — это ключ, а «Бун» — нет.

Сим­во­лов в узле может быть и несколь­ко, напри­мер не бук­вы слов, а сло­ги. Но прин­цип тот же: ключ — не сам узел, а путь от кор­ня до него.

Зачем это нужно

Trie часто исполь­зу­ют в рабо­те со сло­ва­ря­ми. С помо­щью дере­ва рабо­та­ет, напри­мер, Т9. Поль­зо­ва­тель вво­дит набор цифр, а про­грам­ма смот­рит, какие клю­чи мож­но для тако­го набо­ра полу­чить. А потом выби­ра­ет самый попу­ляр­ный и под­став­ля­ет его. Так из ком­би­на­ции 5-6-4-2-3-6 полу­ча­ет­ся «при­вет».

Ещё Trie помо­га­ет в под­сказ­ках в поис­ке. Вот что про это гово­рит Роман Хал­ке­чев, руко­во­ди­тель отде­ла ана­ли­ти­ки в «Яндекс.Лавке» и «Яндекс.Еде», кото­рый несколь­ко лет раз­ра­ба­ты­вал подсказки:

«Пре­фикс­ное дере­во лежит в осно­ве быст­ро­го поис­ка строк, начи­на­ю­щих­ся на пре­фикс — сим­вол или несколь­ко сим­во­лов, кото­рые вво­дит пользователь.

В под­сказ­ках мы поль­зу­ем­ся моди­фи­ка­ци­ей этой струк­ту­ры дан­ных, кото­рая опти­ми­зи­ро­ва­на по памя­ти и по ско­ро­сти поис­ка. Мы зара­нее скла­ды­ва­ем боль­шое коли­че­ство запро­сов в такую струк­ту­ру дан­ных, а когда поль­зо­ва­тель вво­дит пре­фикс, мы его полу­ча­ем и пер­вым эта­пом ищем запро­сы, начи­на­ю­щи­е­ся с того, что набрал поль­зо­ва­тель. Затем уже ран­жи­ру­ем кан­ди­да­тов и выби­ра­ем, что пока­зать пользователю.

То есть, поль­зо­ва­тель начи­на­ет вво­дить запрос, мы идём вниз по дере­ву и смот­рим, какие запро­сы так начи­на­ют­ся. А затем сор­ти­ру­ем их по акту­аль­но­сти, кон­тек­сту и ещё куче пара­мет­ров. И в ито­ге пред­ла­га­ем поль­зо­ва­те­лю то, что ему может быть нужно». 

Экс­перт:
Роман Хал­ке­чев

Текст и иллю­стра­ции:
Сла­ва Уфимцев

Редак­тор:
Мак­сим Ильяхов

Кор­рек­тор:
Ири­на Михеева

Худож­ник:
Даня Бер­ков­ский

Вёрст­ка:
Мария Дро­но­ва

Раз­нёс весть:
Вита­лий Вебер

Дре­во дан­ных, дай нам сил.

Структура информации






Содержание урока

Зачем структурировать информацию?

Знакомые структуры данных

Иерархия (дерево)

Графы

Вопросы и задания

Задачи

Практическая работа № 1 «Оформление документа»

Практическая работа № 2 «Структуризация информации (таблица, списки)»

Практическая работа № 3 «Структуризация информации (деревья)»

Практическая работа № 4 «Графы»


Иерархия (дерево)

Линейных списков и таблиц иногда недостаточно для того, чтобы представить все связи между элементами. Например, в некоторой фирме есть директор, ему подчиняются главный инженер и главный бухгалтер, у каждого из них есть свои подчинённые. Если мы захотим нарисовать схему управления этой фирмы, она получится многоуровневой (рис. 1.11, а).

Такая структура, в которой одни элементы «подчиняются» другим, называется иерархией (от древнегреческого fepap%ta — священное правление). В информатике иерархическую структуру называют деревом. Дело в том, что, если перевернуть схему на рис. 1.11 вверх ногами, она становится похожа на дерево (точнее, на куст, см. рис. 1.11, б).

Рис. 1.11

Дерево состоит из узлов и связей между ними (они называются дугами). Самый первый узел, расположенный на верхнем уровне (в него не входит ни одна стрелка-дуга), — это корень дерева. Конечные узлы, из которых не выходит ни одна дуга, называются листьями. Все остальные узлы, кроме корня и листьев, — промежуточные.

Из двух связанных узлов тот, который находится на более высоком уровне, называется родителем, а другой — сыном. Корень — это единственный узел, у которого нет родителя; у листьев нет сыновей.

Используются также понятия предок и потомок. Потомок какого-то узла — это узел, в который можно перейти по стрелкам от узла-предка. Соответственно, предок какого-то узла — это узел, из которого можно перейти по стрелкам в данный узел.

В дереве на рис. 1.12 родитель узла Е — это узел В, а предки узла Е — это узлы А я В, для которых узел Е — потомок. Потомками узла А (корня) являются все остальные узлы.

Рис. 1.12

Типичный пример иерархии — различные классификации (животных, растений, минералов, химических соединений). Например, отряд Хищные делится на два подотряда: Псообразные и Кошкообразные. В каждом из них выделяют несколько семейств (рис. 1.13).

Рис. 1.13

Конечно, на рис. 1.13 показаны не все семейства, остальные обозначены многоточиями.

В текстах иерархию часто представляют в виде многоуровневого списка. Например, оглавление книги о хищниках может выглядеть так:

Глава 1. Псообразные

1.1. Псовые

1.2. Енотовые

1.3. Медвежьи

...

Глава 2. Кошкоообразные

2.1. Кошачьи

2.2. Гиеновые

2.3. Мангустовые

...

Работая с файлами и папками, мы тоже встречаемся с иерархией: классическая файловая система имеет древовидную структуру 1. Вход в папку — это переход на следующий (более низкий) уровень иерархии (рис. 1.14).


1 В современных файловых системах (NTFS, ext3) файл может «принад¬лежать» нескольким каталогам одновременно. При этом древовидная структура, строго говоря, нарушается.


Рис. 1.14

Алгоритм вычисления арифметического выражения тоже может быть представлен в виде дерева (рис. 1.15).

(а + 3) * 5 - 2 * b

Рис. 1.15

Здесь листья — это числа и переменные, тогда как корень и промежуточные вершины — знаки операций. Вычисления идут «снизу вверх», от листьев — к корню. Показанное дерево можно записать так:

(-(*(+ (а,3),5),*(2,b)))

Самое интересное, что скобки здесь необязательны; если их убрать, то выражение всё равно может быть однозначно вычислено:

* + а35 * 2b

Такая запись, которая называется префиксной (операция записывается перед данными), просматривается с конца. Как только встретится знак операции, эта операция выполняется с двумя значениями, записанными справа. В рассмотренном выражении сначала выполняется умножение:

- * + а 3 5 (2*b)

затем — сложение:

- * (а + 3) 5 (2 * b)

и ещё одно умножение:

- (а + 3) * 5 (2*b)

и наконец, вычитание:

(а + 3) * 5 - (2 * b)

Для получения префиксной записи мы обходили все узлы дерева в порядке «корень — левое поддерево — правое поддерево». Действительно, сначала записана метка корня («-»), затем все метки левого поддерева, а затем — все метки правого поддерева. Для поддеревьев используется тот же порядок обхода. Если же обойти дерево в порядке «левое поддерево — правое поддерево — корень», получается постфиксная форма (операция после данных). Например, рассмотренное выше выражение может быть записано в виде

аЗ+5*2b*-

Для вычисления такого выражения скобки также не нужны, и это очень удобно для автоматических расчётов. Когда программа на языке программирования высокого уровня переводится в машинные коды, часто все выражения записываются в бесскобочной постфиксной форме и именно так и вычисляются. Постфиксная форма для компьютера удобнее, чем префиксная, потому что, когда программа доходит до знака операции, все данные для выполнения этой операции уже готовы.

Следующая страница Графы

Cкачать материалы урока

Trie, или нагруженное дерево / Хабр

Здравствуй, Хабрахабр. Сегодня я хочу рассказать о такой замечательной структуре данных как словарь на нагруженном дереве, известной также как префиксное дерево, или trie.
Что это ?

Нагруженное дерево — структура данных реализующая интерфейс ассоциативного массива, то есть позволяющая хранить пары «ключ-значение». Сразу следует оговорится, что в большинстве случаев ключами выступают строки, однако в качестве ключей можно использовать любые типы данных, представимые как последовательность байт (то есть вообще любые).

Как это работает ?

Нагруженное дерево отличается от обычных n-арных деревьев тем, что в его узлах не хранятся ключи. Вместо них в узлах хранятся односимвольные метки, а ключем, который соответствует некоему узлу является путь от корня дерева до этого узла, а точнее строка составленная из меток узлов, повстречавшихся на этом пути. В таком случае корень дерева, очевидно, соответствует пустому ключу.

На рисунке вы можете наблюдать пример нагруженного дерева с ключами c, cap, car, cdr, go, if, is, it.


И то же самое дерево с выделенным на нем ключем car.

Сразу видно, что наше дерево содержит «лишние» ключи, ведь любому узлу дерева соответствует единственный путь до него от корня, а значит и некоторый ключ. Чтобы избежать проблемы с «лишними» ключами, каждому узлу дерева добавляется булева характеристика, указывающая, является ли узел реально существующим либо промежуточным по дороге в какой-либо другой.
Основные операции

Так как нагруженное дерево реализует интерфейс ассоциативного массива, в нем можно выделить три основные операции, а именно вставку, удаление и поиск ключа. Как и многие деревья, нагруженное дерево обладает свойством самоподобия, то есть любое его поддерево также является полноценным нагруженным деревом. Легко заметить, что все ключи в таком поддереве имеют общий префикс, (откуда и пошло название «префиксное дерево») а значит можно выделить специфичную для этого дерева операцию — получение всех ключей дерева с заданным префиксом за время O(|Prefix|).
Поиск ключа

Как уже было сказано, ключ, соответствующий узлу — конкатенация меток узлов, содержащихся в пути от корня к данному узлу. Из этого свойства естественным образом следует алгоритм поиска ключа (как, впрочем, и алгоритмы добавления и удаления).

Пусть дан ключ Key, который необходимо найти в дереве. Будем спускаться из корня дерева на нижние уровни, каждый раз переходя в узел, чья метка совпадает с очередным символом ключа. После того как обработаны все символы ключа, узел, в котором остановился спуск и будет искомым узлом. Если в процессе спуска не нашлось узла с меткой, соответствующей очередному символу ключа, или спуск остановился на промежуточной вершине (вершине, не имеющей значения), то искомый ключ отсутствует в дереве.

Временная сложность этого алгоритма, очевидно, равна О(|Key|).

Более подробно алгоритм показан на блок-схеме:

Вставка

Алгоритм добавления ключа в дерево очень похож на алгоритм поиска.

Пусть дана пара из ключа Key и значения Value, которую нужно добавить. Как и в алгоритме поиска ключа, будем спускаться из корня дерева на нижние уровни, каждый раз переходя в узел, чья метка совпадает с очередным символом ключа. После того как обработаны все символы ключа, узел, в котором остановился спуск и будет узлом, которому должно быть присвоено значение Value (также, разумеется, узел должен быть помечен как имеющий значение). Если в процессе спуска отсутствует узел с меткой, соответствующей очередному символу ключа, то следует создать новый промежуточный узел с нужной меткой и назначить его потомком текущего.

Временная сложность добавления ключа — О(|Key|).

Иллюстрация алгоритма на блок-схеме:

Удаление

Удаление ключа также реализуется очень легко.

Пусть дан ключ Key, который необходимо удалить из дерева. Проведем поиск этого ключа. Если ключ существует в словаре, то зная узел, которому он соответствует, можно просто пометить его как промежуточный, сделав его «невидимым» для последующих поисков.
После этого можно подняться от «отключенного» узла к корню, попутно удаляя все узлы которые являются листьями, однако экономия памяти в данном случае не существенна, а для эффективного определения того, является ли узел листом потребуется вводить дополнительную характеристику узла.

Временная оценка алгоритма удаления — знакомое уже О(|Key|).

Требовательность к ресурсам

Нагруженное дерево по показателям потребления памяти/процессорного времени не уступает хэш-таблицам и сбалансированным деревьям, а иногда и превосходит их по этим параметрам.
Процессорное время

Сложность операций вставки, удаления и поиска — O(|Key|). Хотя сбалансированные деревья и выполняют эти операции за O(ln(n)) но в этой асимптотике скрыто время, необходимое для сравнения ключей, которое, в общем случае, составляет O(|Key|). С хэш-таблицами ситуация аналогична — хоть время доступа и составляет О(1+a), но взятие хэша (если он не предвычислен заранее, разумеется) занимает O(|Key|).

Графики со сравнением производительности нагруженных деревьев, хэш-таблиц и красно-черных деревьев можно посмотреть в английской википедии.

Память

По потреблению памяти нагруженное дерево часто выигрывает у хэш-таблиц и сбалансированных деревьев. Это связано с тем что у множества ключей в нагруженном дереве совпадают префиксы, и вместе с ними память которую они используют. Также, в отличии от сбалансированных деревьев, в нагруженном дереве нет необходимости хранить ключ в каждом узле.
Оптимизации

Существует 2 основных типа оптимизации нагруженного дерева:

Зачем все это нужно?

Собственно, область применения нагруженных деревьев огромна — их можно применять везде где требуется реализация интерфейса ассоциативного массива. Особенно нагруженные деревья удобны для реализации словарей, спеллчекеров и прочих Т9 — то есть в задачах, где необходимо быстро получать наборы ключей с заданным префиксом. Также нагруженное дерево использует в своей работе небезизвестный алгоритм Ахо — Корасик.

Вот собственно и все. Надеюсь, читателю было интересно узнать об этой замечательной структуре данных, незаслуженно редко упоминаемой на Хабре.

Дерево - Computer Science Wiki

Из Википедии о компьютерных науках

Перейти к навигации Перейти к поиску

В информатике дерево - это широко используемый абстрактный тип данных (ADT) или структура данных, реализующая этот ADT, который имитирует иерархическую древовидную структуру с корневым значением и поддеревьями дочерних элементов с родительским узлом, представленными как набор связанные узлы.

Древовидная структура данных может быть определена рекурсивно (локально) как набор узлов (начиная с корневого узла), где каждый узел представляет собой структуру данных, состоящую из значения вместе со списком ссылок на узлы («дочерние узлы»). "), с ограничениями, что никакая ссылка не дублируется и ни одна не указывает на корень. [2]

Изображение дерева [править]

древовидный словарь [править]

Практическое применение дерева [править]

Дерево - пример видео [править]

Это видео дает базовое введение в деревья. Он также очень хорошо резюмирует другие структуры данных. Имейте в виду, что пример в начале не является двоичным деревом, но двоичные деревья обсуждаются позже.Игнорируйте обсуждение кузенов и дядей. Это нелепо. Но в остальном видео действительно хорошее.

Стандарты

[править]

См. Также [править]

Внешние ссылки [править]

обсуждение двоичных деревьев на высоком уровне

Ссылки [править]

.

деревьев. Что такое дерево? В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с отношениями родитель-потомок.

Презентация на тему: «Деревья. Что такое дерево? В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с отношениями родитель-потомок» - стенограмма презентации:

1 Деревья

2 Что такое дерево? В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с отношениями родитель-потомок. Приложения: - Организационные диаграммы - Файловые системы - Среды программирования

3 Что такое дерево? Компьютеры »R» Продажи в США HRПроизводство ноутбуковНастольные компьютеры США Международный Европа АзияКанада

4 Терминология дерева Корень: узел без родителя (A) Внутренний узел: узел, по крайней мере, с одним дочерним (A, B, C, F) Внешний узел (a.k.a. лист): узел без потомков (E, I, J, K, G, H, D) Предки узла: родитель, дедушка, бабушка, дедушка и т. д. Глубина узла: количество предков Высота дерева: максимум глубина любого узла (3) Потомок узла: потомок, внук, внук-внук и т. д. Поддерево: дерево, состоящее из узла и его потомков.

5 поддерево Дерево Терминология A B DC GH E F IJ K предки I, J и K потомки A

6 Использование деревьев В большинстве ОС файлы иерархически организованы в папки и представлены в виде деревьев.Структурированный документ, такой как книга, иерархически организован в виде дерева с упорядоченным деревом. Арифметические выражения могут быть представлены деревом выражений. Различные исходы в результате могут быть представлены деревом решений


7 Tree ADT Мы используем позиции для абстрактных узлов. Общие методы: - integer size () - boolean isEmpty () - элементы objectIterator () - positionIterator position () Методы доступа: - position root () - position parent (p) - positionIterator children (p )

8 Методы запроса Tree ADT: - логическое isInternal (p) - логическое isExternal (p) - логическое isRoot (p) Методы обновления: - swapElements (p, q) - объект replaceElement (p, o) Дополнительные методы обновления могут определяться структурами данных реализация Tree ADT

9 Алгоритм анализа операций с деревом isEmpty () O (1) size () O (1) элементов () O (n) позиций () O (n) root () O (1) parent () O (1) children (pos) O (c) * isInternal () O (1) isExternal () O (1) isRoot () O (1) swapElements (w, x) O (1) replaceElement (pos, e) O (1) * c представляет количество детей

10 Структура дерева Дерево - это структура, в которой информация хранится в виде родительско-дочерней структуры.Это приводит к рекурсивному формированию - то есть корневой узел создает дерево, а каждый дочерний узел корневого узла создает поддерево, и каждый дочерний элемент в каждом из этих узлов создает другие поддеревья.

11 Структура дерева Этот «рекурсивный» формат древовидной структуры приводит к написанию рекурсивных алгоритмов для некоторых функций. Например, чтобы найти глубину узла, все, что необходимо, - это найти количество родителей на всем пути до корневого узла.Нет необходимости посещать все узлы в дереве.

12 Глубина дерева Глубина v = количество предков v Если v - корень, глубина v = 0, иначе глубина v = 1 + глубина родительского элемента v vwxyzv = 0 w = 1 + глубина (myParent) = 1 + 0 = 1 x = 1 + глубина (myParent) = 1 + 1 = 2 y = z = 1 + глубина (myParent) = 1 + 2 = 3

.

1 Глава 7 Деревья. 2 Что такое дерево В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с родительским-дочерним элементом.

Презентация на тему: «1 Глава 7 Деревья. 2 Что такое дерево В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с родительским и дочерним элементом». - Стенограмма презентации:

1 1 Глава 7 Деревья

2 2 Что такое дерево В информатике дерево - это абстрактная модель иерархической структуры. Дерево состоит из узлов с отношениями родитель-потомок. Приложения: Организационные диаграммы Организационные диаграммы Файловые системы Файловые системы Среда программирования Среда программирования Компьютеры «R» Us SalesR & DM Производство НоутбукиДесктопы США Международный ЕвропаАзияКанада

3 3 Краткое описание рекурсивных структурных определений Терминология дерева Пример интерфейса двоичного дерева - деревья выражений Деревья реализации двоичного дерева Обходы дерева Методы на основе свойств

4 4 Определение списка - рекурсивный Список либо пуст, либо содержит элемент заголовка и подсписок, где подсписок должен быть списком.

5 5 Определение дерева - рекурсивное Дерево либо пусто, либо состоит из элемента, называемого корнем, и (возможно, пустого) списка поддеревьев, где каждое поддерево является деревом. Термин узел используется для обозначения элемента в определенном месте в дереве.

6 6 Путь - это уникальная кратчайшая последовательность ребер от узла до предка.Длина пути - это количество ребер в нем. Высота узла = tree.height - длина (путь (корень, узел)). Высота дерева - это высота его корня. Глубина (уровень) узла - это длина пути от корня до узла. Степень узла - это количество его дочерних элементов. Степень (арность) дерева - это максимальная степень его узлов.


7 7 Если узел N2 является корнем прямого поддерева узла N1, то узел N2 является дочерним по отношению к узлу N1, а узел N1 является родительским элементом узла N2.Корневой узел дерева не имеет родительского узла в этом дереве. Узел N1 является предком узла N2, если N1 является предком узла N2 или если N1 является предком родительского элемента N2 (это рекурсивное определение: предки (N) = родительский (N) + предки (родительский (N))). Узел N2 является потомком узла N1, если N1 является предком узла N2. Узел без дочерних узлов называется листовым узлом. Узел с дочерними элементами называется внутренним узлом. Два узла являются братьями и сестрами, если у них один и тот же родительский элемент.

8 8 Рост (10)? Высота (11)? Путь (43,99)? Путь (21,67)? Дети (25)? Потомки (43)? Братья и сестры (25)? Глубина (99)? Глубина (10)? Арти (дерево)? Степень (99)? Степень (10)?

9 9 Двоичное дерево - это дерево, в котором узлы могут иметь максимум 2 дочерних элемента.Бинарное дерево ориентировано, если каждый узел с двумя дочерними элементами различает детей, называя их левым и правым дочерними элементами, а каждый узел с одним дочерним элементом обозначает его либо как левый, либо как правый дочерний элемент. Узел двоичного дерева является полным, если он имеет арность 2. Полное двоичное дерево высоты h имеет листья только на уровне h, и каждый из его внутренних узлов заполнен. Полное двоичное дерево высоты h - это полное двоичное дерево высоты h с 0 или более удаленными крайними правыми листьями уровня h.

11 11 Обход двоичного дерева Существует четыре распространенных обхода двоичного дерева: - Предварительный порядок: обработать корень, затем левое поддерево, затем правое поддерево - Порядок: обработать левое поддерево, затем корневое, затем правое поддерево - Поступорядочение: обработать левое поддерево, затем правое поддерево, затем корень - Порядок уровней: обработать узлы уровня i, до обработки узлов уровня i + 1

12 12  Связанная структура для деревьев Узел представлен объектом, хранящим элемент Элемент Родительский узел Родительский узел Последовательность дочерних узлов Последовательность дочерних узлов Узловые объекты реализуют Position ADT B D A CE F B  ADF  C  E

.

деревьев решений в машинном обучении | Прашант Гупта

Дерево имеет много аналогий в реальной жизни, и оказывается, что оно повлияло на широкую область машинного обучения , охватывающую как классификацию , так и регрессию . При анализе решений дерево решений может использоваться для визуального и явного представления решений и принятия решений. Как следует из названия, он использует древовидную модель решений. Хотя это широко используемый инструмент интеллектуального анализа данных для выработки стратегии достижения конкретной цели, он также широко используется в машинном обучении, которому и будет уделено основное внимание в этой статье.

Как можно представить алгоритм в виде дерева?

Для этого давайте рассмотрим очень простой пример, который использует титанический набор данных для прогнозирования, выживет пассажир или нет. В приведенной ниже модели используются 3 характеристики / атрибута / столбца из набора данных, а именно пол, возраст и sibsp (количество супругов или детей).

Изображение взято из wikipedia

Дерево решений нарисовано в перевернутом виде с корнем наверху. На изображении слева жирный текст черного цвета представляет условие / внутреннего узла , на основании которого дерево разбивается на ветви / ребра .Конец ветви, которая больше не разделяется, - это решение / , лист , в данном случае, умер пассажир или выжил, отображается красным и зеленым текстом соответственно.

Хотя реальный набор данных будет иметь гораздо больше функций, и это будет просто ветвь в гораздо более крупном дереве, но вы не можете игнорировать простоту этого алгоритма. Важность функции очевидна , и связи можно легко просмотреть. Эта методология более известна как дерево решений обучения из данных , а дерево выше называется Дерево классификации , поскольку цель состоит в том, чтобы классифицировать пассажира как выжившего или умершего. Деревья регрессии представлены таким же образом, только они предсказывают непрерывные значения, такие как цена дома. В общем, алгоритмы дерева решений называются CART или деревьями классификации и регрессии.

Итак, что на самом деле происходит в фоновом режиме? Выращивание дерева включает в себя решение , какие функции выбрать и , какие условия использовать для разделения, а также знать, когда остановиться. Поскольку дерево обычно растет произвольно, вам нужно подрезать , чтобы оно выглядело красиво.Начнем с общей техники, используемой для разделения.

Рекурсивное двоичное разбиение

В этой процедуре рассматриваются все функции, а различные точки разбиения опробуются и тестируются с использованием функции стоимости. Выбирается сплит с лучшей (или самой низкой) стоимостью.

Рассмотрим предыдущий пример дерева, полученного из набора данных titanic. В первом разбиении или корне учитываются все атрибуты / функции, и обучающие данные делятся на группы на основе этого разбиения.У нас есть 3 функции, поэтому будет 3 кандидата на разбиение. Теперь мы рассчитаем , сколько точности будет стоить нам каждое разбиение, используя функцию . Выбирается наименьшая стоимость сплита , который в нашем примере соответствует полу пассажира. Этот алгоритм , является рекурсивным по своей природе , поскольку сформированные группы могут быть подразделены с использованием той же стратегии. Из-за этой процедуры этот алгоритм также известен как жадный алгоритм , поскольку у нас есть чрезмерное желание снизить стоимость. Это делает корневой узел лучшим предсказателем / классификатором.

Стоимость разделения

Давайте подробнее рассмотрим функций стоимости, используемых для классификации и регрессии . В обоих случаях функции затрат пытаются найти наиболее однородных ветвей или ветвей, имеющих группы с аналогичными ответами . Это имеет смысл, мы можем быть более уверены в том, что ввод тестовых данных будет следовать определенному пути.

Регрессия: сумма (y - прогноз) ²

Допустим, мы прогнозируем цены на дома.Теперь дерево решений начнет разделяться с учетом каждой особенности обучающих данных. Среднее значение ответов вводимых обучающих данных конкретной группы рассматривается как прогноз для этой группы. Вышеупомянутая функция применяется ко всем точкам данных, а стоимость рассчитывается для всех возможных разбиений. Снова выбирается сплит с наименьшей стоимостью . Другая функция стоимости включает уменьшение стандартного отклонения, подробнее об этом можно прочитать здесь.

Классификация: G = сумма (pk * (1 - pk))

Оценка Джини дает представление о том, насколько хорошо разбито, насколько смешаны классы ответов в группах, созданных с помощью разбиения.Здесь pk - это доля входов одного и того же класса, присутствующих в определенной группе. Идеальная чистота класса достигается, когда группа содержит все входные данные из одного и того же класса, и в этом случае pk равно 1 или 0 и G = 0, где, поскольку узел, имеющий 50–50 разбиение классов в группе, имеет наихудшую чистоту, поэтому для двоичной классификации у него будет pk = 0,5 и G = 0,5.

Когда прекратить деление?

Вы можете спросить , когда перестать выращивать дерево? Поскольку проблема обычно имеет большой набор функций, она приводит к большому количеству разбиений, что, в свою очередь, дает огромное дерево.Такие деревья сложные и могут привести к переоснащению. Итак, нам нужно знать, когда остановиться? Один из способов сделать это - установить минимального количества обучающих входных данных для использования на каждом листе. Например, мы можем использовать минимум 10 пассажиров, чтобы принять решение (умерли или выжили), и игнорировать любой лист, который принимает менее 10 пассажиров. Другой способ - установить максимальной глубины вашей модели. Максимальная глубина - это длина самого длинного пути от корня до листа.

Обрезка

Производительность дерева может быть увеличена за счет обрезки . Это включает удаление ветвей, которые используют функции, имеющие низкую важность . Таким образом, мы уменьшаем сложность дерева и, таким образом, увеличиваем его предсказательную способность за счет уменьшения переобучения.

Обрезка может начинаться как с корня, так и с листьев. Самый простой метод отсечения начинается с листьев и удаляет каждый узел с наиболее популярным классом в этом листе, это изменение сохраняется, если оно не ухудшает точность.Его также называют с сокращенным сокращением ошибок . Могут использоваться более сложные методы отсечения, такие как отсечение сложности по стоимости , где параметр обучения (альфа) используется для определения возможности удаления узлов на основе размера поддерева. Это также известно как удаление самых слабых звеньев.

Преимущества CART

Недостатки CART

Это все, что вам нужно, чтобы научиться использовать дерево решений. Улучшение по сравнению с обучением дерева решений сделано с использованием техники повышения . Популярной библиотекой для реализации этих алгоритмов является Scikit-Learn . У него замечательный api, который может запустить вашу модель с всего за несколько строк кода на python .

.

информатика | Определение, поля и факты

Информатика , изучение компьютеров и вычислений, включая их теоретические и алгоритмические основы, аппаратное и программное обеспечение, а также их использование для обработки информации. Дисциплина информатики включает изучение алгоритмов и структур данных, компьютерное и сетевое проектирование, моделирование данных и информационных процессов, а также искусственный интеллект. Информатика берет некоторые свои основы из математики и инженерии и поэтому включает методы из таких областей, как теория массового обслуживания, вероятность и статистика, а также проектирование электронных схем.Информатика также широко использует проверку гипотез и экспериментирование во время концептуализации, проектирования, измерения и уточнения новых алгоритмов, информационных структур и компьютерных архитектур.

портативный компьютер

портативный персональный компьютер.

© Index Open

Популярные вопросы

Что такое информатика?

Кто самые известные программисты?

Что можно делать с информатикой?

Используется ли информатика в видеоиграх?

Как мне изучить информатику?

Многие университеты по всему миру предлагают степени, которые обучают студентов основам теории информатики и приложениям компьютерного программирования.Кроме того, преобладание онлайн-ресурсов и курсов позволяет многим людям самостоятельно изучать более практические аспекты информатики (такие как кодирование, разработка видеоигр и дизайн приложений).

Информатика считается частью семейства из пяти отдельных, но взаимосвязанных дисциплин: компьютерная инженерия, информатика, информационные системы, информационные технологии и разработка программного обеспечения. Это семейство стало известно как дисциплина вычислений.Эти пять дисциплин взаимосвязаны в том смысле, что информатика является их объектом изучения, но они отделены друг от друга, поскольку каждая имеет свою исследовательскую перспективу и направленность учебной программы. (С 1991 года Ассоциация вычислительной техники [ACM], Компьютерное общество IEEE [IEEE-CS] и Ассоциация информационных систем [AIS] сотрудничают, чтобы разработать и обновить таксономию этих пяти взаимосвязанных дисциплин и руководящие принципы, которые во всем мире для их программ бакалавриата, магистратуры и исследований.)

Основные области информатики включают традиционное изучение компьютерной архитектуры, языков программирования и разработки программного обеспечения. Однако они также включают в себя вычислительную науку (использование алгоритмических методов для моделирования научных данных), графику и визуализацию, взаимодействие человека с компьютером, базы данных и информационные системы, сети, а также социальные и профессиональные вопросы, которые являются уникальными для практики информатики. . Как может быть очевидно, некоторые из этих подполей частично совпадают в своей деятельности с другими современными областями, такими как биоинформатика и вычислительная химия.Эти совпадения являются следствием тенденции компьютерных ученых признавать многочисленные междисциплинарные связи в своей области и действовать в соответствии с ними.

Развитие информатики

Информатика возникла как самостоятельная дисциплина в начале 1960-х годов, хотя электронно-цифровая вычислительная машина, являющаяся объектом ее изучения, была изобретена примерно двумя десятилетиями ранее. Корни информатики лежат, прежде всего, в смежных областях математики, электротехники, физики и информационных систем управления.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Математика является источником двух ключевых концепций в развитии компьютера - идеи о том, что всю информацию можно представить в виде последовательностей нулей и единиц, и абстрактного понятия «хранимая программа». В двоичной системе счисления числа представлены последовательностью двоичных цифр 0 и 1 так же, как числа в знакомой десятичной системе представлены цифрами от 0 до 9.Относительная легкость, с которой два состояния (например, высокое и низкое напряжение) могут быть реализованы в электрических и электронных устройствах, естественным образом привела к тому, что двоичная цифра или бит стал основной единицей хранения и передачи данных в компьютерной системе.

Электротехника обеспечивает основы проектирования схем, а именно идею о том, что электрические импульсы, входящие в схему, могут быть объединены с использованием булевой алгебры для получения произвольных выходных сигналов. (Булева алгебра, разработанная в 19 веке, предоставила формализм для разработки схемы с двоичными входными значениями нулей и единиц [ложь или истина, соответственно, в терминологии логики], чтобы получить любую желаемую комбинацию нулей и единиц на выходе.) Изобретение транзистора и миниатюризация схем, наряду с изобретением электронных, магнитных и оптических носителей для хранения и передачи информации, явились результатом достижений электротехники и физики.

Информационные системы управления, первоначально называвшиеся системами обработки данных, предоставили ранние идеи, на основе которых развились различные концепции информатики, такие как сортировка, поиск, базы данных, поиск информации и графические пользовательские интерфейсы.В крупных корпорациях размещались компьютеры, на которых хранилась информация, играющая ключевую роль в ведении бизнеса - расчет заработной платы, бухгалтерский учет, управление запасами, контроль производства, отгрузка и получение.

Теоретические работы по вычислимости, начатые в 1930-х годах, обеспечили необходимое распространение этих достижений на проектирование целых машин; важной вехой стала спецификация машины Тьюринга (теоретическая вычислительная модель, выполняющая инструкции, представленные в виде последовательности нулей и единиц) в 1936 году британским математиком Аланом Тьюрингом и его доказательство вычислительной мощности модели.Другим прорывом стала концепция компьютера с хранимой программой, которую обычно приписывают венгерскому американскому математику Джону фон Нейману. Это истоки области информатики, которая позже стала известна как архитектура и организация.

Алан М. Тьюринг, 1951.

Science History Images / Alamy

В 1950-е годы большинство пользователей компьютеров работали либо в научно-исследовательских лабораториях, либо в крупных корпорациях. Первая группа использовала компьютеры для выполнения сложных математических вычислений (например,g., траектории ракет), в то время как последняя группа использовала компьютеры для управления большими объемами корпоративных данных (например, платежными ведомостями и запасами). Обе группы быстро поняли, что написание программ на машинном языке нулей и единиц непрактично и не надежно. Это открытие привело к разработке языка ассемблера в начале 1950-х годов, который позволяет программистам использовать символы для инструкций (например, ADD для сложения) и переменных (например, X ). Другая программа, известная как ассемблер, переводила эти символические программы в эквивалентную двоичную программу, шаги которой компьютер мог выполнять, или «выполнять».”

Другие элементы системного программного обеспечения, известные как связывающие загрузчики, были разработаны для объединения частей собранного кода и загрузки их в память компьютера, где они могли быть выполнены. Концепция связывания отдельных частей кода была важна, поскольку позволяла повторно использовать «библиотеки» программ для выполнения общих задач. Это был первый шаг в развитии области компьютерных наук, называемой программной инженерией.

Позже, в 1950-х годах, язык ассемблера оказался настолько громоздким, что разработка языков высокого уровня (близких к естественным языкам) стала поддерживать более легкое и быстрое программирование.FORTRAN стал основным языком высокого уровня для научного программирования, а COBOL стал основным языком бизнес-программирования. Эти языки несли с собой потребность в различном программном обеспечении, называемом компиляторами, которое переводит программы на языке высокого уровня в машинный код. По мере того как языки программирования становились все более мощными и абстрактными, создание компиляторов, которые создают высококачественный машинный код и которые эффективны с точки зрения скорости выполнения и потребления памяти, стало сложной проблемой информатики.Разработка и реализация языков высокого уровня лежит в основе области информатики, называемой языками программирования.

Рост использования компьютеров в начале 1960-х годов послужил толчком для разработки первых операционных систем, которые состояли из резидентного программного обеспечения системы, которое автоматически обрабатывало ввод и вывод, а также выполнение программ, называемых «заданиями». Спрос на более совершенные вычислительные методы привел к возрождению интереса к численным методам и их анализу, деятельности, которая распространилась настолько широко, что стала известна как вычислительная наука.

В 1970-х и 1980-х годах появились мощные устройства компьютерной графики, как для научного моделирования, так и для другой визуальной деятельности. (Компьютеризированные графические устройства были представлены в начале 1950-х годов с отображением грубых изображений на бумажных графиках и экранах электронно-лучевых трубок [ЭЛТ].) Дорогостоящее оборудование и ограниченная доступность программного обеспечения не позволяли этой области расти до начала 1980-х годов, когда компьютерная память, необходимая для растровой графики (в которой изображение состоит из небольших прямоугольных пикселей), стала более доступной.Технология растровых изображений вместе с экранами с высоким разрешением и развитием графических стандартов, которые делают программное обеспечение менее зависимым от машины, привели к взрывному росту этой области. Поддержка всех этих видов деятельности переросла в область компьютерных наук, известную как графика и визуальные вычисления.

С этой областью тесно связано проектирование и анализ систем, которые напрямую взаимодействуют с пользователями, выполняющими различные вычислительные задачи. Эти системы стали широко использоваться в 1980-х и 1990-х годах, когда линейное взаимодействие с пользователями было заменено графическими пользовательскими интерфейсами (GUI).Дизайн графического интерфейса пользователя, который был впервые разработан Xerox, а затем подхвачен Apple (Macintosh) и, наконец, Microsoft (Windows), важен, поскольку он определяет то, что люди видят и делают, когда они взаимодействуют с вычислительным устройством. Разработка соответствующих пользовательских интерфейсов для всех типов пользователей превратилась в область компьютерных наук, известную как взаимодействие человека с компьютером (HCI).

графический интерфейс пользователя

Xerox Alto был первым компьютером, на котором для управления системой использовались графические значки и мышь - первый графический интерфейс пользователя (GUI).

Предоставлено Xerox

Область компьютерной архитектуры и организации также резко изменилась с тех пор, как в 1950-х были разработаны первые компьютеры с хранимыми программами. Так называемые системы с разделением времени появились в 1960-х годах, чтобы позволить нескольким пользователям одновременно запускать программы с разных терминалов, жестко подключенных к компьютеру. В 1970-х годах были разработаны первые глобальные компьютерные сети (WAN) и протоколы для высокоскоростной передачи информации между компьютерами, разделенными на большие расстояния.По мере развития эти виды деятельности объединились в область компьютерных наук, называемую сетями и коммуникациями. Важным достижением в этой области стало развитие Интернета.

Идея о том, что инструкции, а также данные могут храниться в памяти компьютера, была критически важна для фундаментальных открытий о теоретическом поведении алгоритмов. То есть такие вопросы, как «Что можно / нельзя вычислить?» были формально решены с использованием этих абстрактных идей. Эти открытия положили начало области компьютерных наук, известной как алгоритмы и сложность.Ключевой частью этой области является изучение и применение структур данных, подходящих для различных приложений. Структуры данных, наряду с разработкой оптимальных алгоритмов для вставки, удаления и размещения данных в таких структурах, являются серьезной проблемой для компьютерных ученых, потому что они так активно используются в компьютерном программном обеспечении, особенно в компиляторах, операционных системах, файловых системах, и поисковые системы.

В 1960-х годах изобретение магнитных дисков обеспечило быстрый доступ к данным, расположенным в произвольном месте на диске.Это изобретение привело не только к более грамотно спроектированным файловым системам, но и к разработке баз данных и систем поиска информации, которые позже стали важными для хранения, извлечения и передачи больших объемов и разнообразных данных через Интернет. Эта область информатики известна как управление информацией.

Другая долгосрочная цель исследований в области информатики - создание вычислительных машин и роботизированных устройств, которые могут выполнять задачи, которые обычно считаются требующими человеческого интеллекта.К таким задачам относятся движение, зрение, слух, говорение, понимание естественного языка, мышление и даже проявление человеческих эмоций. Область информатики интеллектуальных систем, первоначально известная как искусственный интеллект (ИИ), на самом деле предшествовала первым электронным компьютерам в 1940-х годах, хотя термин искусственный интеллект не был введен до 1956 года.

Три развития вычислительной техники в начале XXI века - мобильные вычисления, вычисления клиент-сервер и взлом компьютеров - способствовали появлению трех новых областей в информатике: разработка на основе платформ, параллельные и распределенные вычисления и безопасность. и информационное обеспечение.Платформенная разработка - это изучение особых потребностей мобильных устройств, их операционных систем и приложений. Параллельные и распределенные вычисления связаны с разработкой архитектур и языков программирования, которые поддерживают разработку алгоритмов, компоненты которых могут работать одновременно и асинхронно (а не последовательно), чтобы лучше использовать время и пространство. Обеспечение безопасности и информации связано с проектированием вычислительных систем и программного обеспечения, которые защищают целостность и безопасность данных, а также конфиденциальность лиц, которые характеризуются этими данными.

Наконец, на протяжении всей истории информатики особое внимание уделялось уникальному влиянию на общество, которое сопровождает исследования в области информатики и технологические достижения. Например, с появлением Интернета в 1980-х годах разработчикам программного обеспечения потребовалось решить важные вопросы, связанные с информационной безопасностью, личной конфиденциальностью и надежностью системы. Кроме того, вопрос о том, является ли компьютерное программное обеспечение интеллектуальной собственностью, и связанный с ним вопрос «Кому оно принадлежит?» дала начало совершенно новой правовой области лицензирования и стандартов лицензирования, которые применяются к программному обеспечению и связанным с ним артефактам.Эти и другие проблемы составляют основу социальных и профессиональных вопросов информатики, и они проявляются почти во всех других областях, указанных выше.

Итак, чтобы подвести итог, дисциплина информатики превратилась в следующие 15 отдельных областей:

Информатика по-прежнему имеет сильные математические и инженерные корни.Программы бакалавриата, магистратуры и докторантуры по информатике обычно предлагаются высшими учебными заведениями, и эти программы требуют от студентов прохождения соответствующих курсов математики и инженерии, в зависимости от их специализации. Например, все студенты бакалавриата по информатике должны изучать дискретную математику (логику, комбинаторику и элементарную теорию графов). Многие программы также требуют от студентов завершения курсов по расчету, статистике, числовому анализу, физике и принципам инженерии в начале учебы.

.

Вопросы и ответы по информатике

перейти к содержанию Меню Меню .

Смотрите также

Сайт о Бане - проект, посвященный строительству, эксплуатации и уходу за русской баней. Большой сборник статей, который может быть полезен любому любителю бани

Содержание, карта сайта.