Что такое дерево возможных вариантов


Методы решения комбинаторных задач - Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны - Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны

Методы решения комбинаторных задач

Перебор возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля - Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10) Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя, 14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег.

Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево возможных вариантов.

Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.
 

Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.

 

Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М - математика, Р - русский язык, И - история, А - английский язык, Ф - физкультура.

 

Ответ: Всего 24 возможных варианта:

Р
М
И
А
Ф

Р
М
И
Ф
А

Р
М
А
И
Ф

Р
М
А
Ф
И

Р
М
Ф
И
А

Р
М
Ф
А
И

И
М
Р
А
Ф

И
М
Р
Ф
А

И
М
А
Р
Ф

И
М
А
Ф
Р

И
М
Ф
Р
А

И
М
Ф
А
Р

А
М
Р
И
Ф

А
М
Р
Ф
И

А
М
И
Р
Ф

А
М
И
Ф
Р

А
М
Ф
Р
И

А
М
Ф
И
Р

Ф
М
Р
И
А

Ф
М
Р
А
И

Ф
М
И
Р
А

Ф
М
И
А
Р

Ф
М
А
Р
И

Ф
М
А
И
Р

Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б - брюки, Д - джинсы, С - серая рубашка, Г - голубая рубашка, З - зеленая рубашка, Р - рубашка в клетку, Т - туфли, К - кроссовки.

 

Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

Составление таблиц

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.

 

Ответ: 28.

Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

 

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Правило умножения

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их существует.

Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?

Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.

4 х 4 = 16.

Ответ: 16 команд.

Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим - любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым - любой из оставшихся 3 учеников,
пятым - любой из оставшихся 2 учеников,
шестым - последний 1 ученик.

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.

Ответ: 720 способами.

Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.

Ответ: 20 чисел.

Методическая разработка по алгебре (5 класс) по теме: конспект открытого урока математики в 5 классе по теме "Дерево возможных вариантов"

Конспект урока математики в 5 классе

Учитель математики МБОУ СОШ № 1 Слюнко О.В.

Тема: Дерево возможных вариантов.

Цель:  познакомить учащихся с основными приёмами подсчета различных вариантов при решении комбинаторных задач.

Задачи:

·        развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать;

·         воспитание интереса к предмету, культуры умственного труда.

 Оборудование:

ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Ход урока

  1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

(Слайд 1)

   

 II. Объяснение нового материала

        В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора (Слайд 2)

 Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

      Люди, которые  владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации. В жизни эти умения очень часто помогают человеку. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

 Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

 Сегодня рассмотрим с вами некоторые задачи  комбинаторики. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач.

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, дерево возможных вариантов.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7? (Слайд 3)

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

 

 Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел. Мы решили задачу методом перебора вариантов.

 Существует единый подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения можно построить специальную схему. (Слайд 4)

                                                                    

 

Первая цифра         1                               4                                   7

 

Вторая цифра 1         4       7         1          4           7            1        4            7

 

Число               11    14       17      41         44       47          71        74         77  

 

 Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Задача 2. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени? (Слайд 5)

Построим схему – дерево возможных вариантов:

                                 

 

 

 

 

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

у

а

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

у

а

у

а

у

а

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ааа

аау

ауа

ауу

уаа

уау

ууа

ууу

 

 

                                                                       

Первая буква                          

 

 

Вторая буква

 

Третья буква

 

Слово (Слайд 6)

 

 

Задача 3. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста? (Слайд 7)

                                                                              ¤

 

Первый овощ                 М                                   С                                       К

 

Второй овощ        С                 К                    М               К                   М                С

                             МС               МК             СМ           СК               КМ                 КС

В итоге получаем 6 вариантов при учете, что мы делаем различие между МС и СМ и другими аналогичными парами. Но, если смотреть на то, что три из них эквивалентны трем другим парам (МС – СМ, МК – КМ, СК – КС), то получаем, что различных вариантов только три.

 

Задача 4.  На прямой отметили 4 точки: А, В,С,Д. Сколько получилось отрезков? (Слайд 8)

 

А                    В        С                Д

•                     •         •                  •                      

Построим дерево вариантов.

                                         *

         А                             В                     С

 

В      С     Д                  С     Д                  Д                                  

Отрезки АВ, АС, АД, ВС, ВД, СД

III. Закрепление нового материала

Решение задач

1.Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и5?

Ответ: 8

2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Составьте дерево возможных вариантов

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

 IV. Итог урока.

Ответить на вопросы:

1). Что изучает комбинаторика?

2).Что такое дерево возможных вариантов?

V. Домашнее задание: придумать свою комбинаторную задачу и решить её.

 

Что такое дерево решений и где его используют? — Личный опыт на vc.ru

Ребята, привет! Сегодня команда ProductStar подготовила для вас статью, в которой мы рассмотрели общие принципы работы и области применения дерева решений.

Дерево решений — эффективный инструмент интеллектуального анализа данных и предсказательной аналитики. Он помогает в решении задач по классификации и регрессии.

Дерево решений представляет собой иерархическую древовидную структуру, состоящую из правила вида «Если …, то ...». За счет обучающего множества правила генерируются автоматически в процессе обучения.

В отличие от нейронных сетей, деревья как аналитические модели проще, потому что правила генерируются на естественном языке: например, «Если реклама привела 1000 клиентов, то она настроена хорошо».

Правила генерируются за счет обобщения множества отдельных наблюдений (обучающих примеров), описывающих предметную область. Поэтому их называют индуктивными правилами, а сам процесс обучения — индукцией деревьев решений.

В обучающем множестве для примеров должно быть задано целевое значение, так как деревья решений — модели, создаваемые на основе обучения с учителем. По типу переменной выделяют два типа деревьев:

Развитие инструмента началось в 1950-х годах. Тогда были предложены основные идеи в области исследований моделирования чел

Дерево возможностей. Комбинаторные задачи. Факториал

В математике бывают такие задачи, де нужно посчитать все возможные варианты взаимодействия элементов. В начальной школе это делают чаще всего перебором. Т.е., перебирают все возможные комбинации вариантов. 

Пример задачи.

Как составить цифр 1, 2, 3 все варианты трехзначных чисел (цифры не должны повторяться). 

Перебираем все возможные комбинации: 123, 132, 213, 231, 312, 321

Но это была не такая уж трудная задача. А если цифр будет больше? То есть вероятность, что можно запутаться. Ведь можно не уследить и потерять какой-то вариант. Тогда на помощь нам придет умение строить дерево возможностей.

Дерево возможностей - это общее число вариантов всегда равно числу точек в последнем ряду. Позволяет решать самые разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. 

Пример составления дерева возможностей. 

Имея цифры 1,3,5,7 составить все трехзначные числа. Посмотрите, как построено дерево возможностей. Попытайся понять принцип. Если трудно, посмотри ролик.

РОЛИК 1

В данном видео рассматривается один из способов решения комбинаторных задач. Составление "Дерева возможностей" является наиболее рациональным способом определения числа возможных комбинаций. Кроме того, при подборе вариантов позволяет учитывать дополнительные условия.

РОЛИК 2

ЧТО ТАКОЕ ФАКТОРИАЛ

Урок алгебры по теме: " Дерево возможных вариантов".

Дата___________________

Урок 70. Дерево возможных вариантов.

Цели: изучить комбинаторное правило умножения; формировать умения решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения и составления таблиц возможных вариантов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Три друга при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? (3.)

2. Есть помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? (3.)

3. Перечислить все возможные способы разложения по двум вазам одного яблока и одной груши. (4.)

4. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой? (2.)

5. Сколько подарочных наборов можно составить:

1) из одного предмета; (1.)

2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени? (3.)

III. Объяснение нового материала.

1. Чтобы подвести учащихся к «открытию» комбинаторного правила умножения, целесообразно начать объяснение нового материала с проверки решения задачи № 714 (домашнее задание) с выносом графа-дерева решения на доску:

Замечаем, что можно было решить эту задачу даже устно. Рассуждаем так. Первое блюдо можно выбрать двумя способами. Для каждого первого блюда можно подобрать второе четырьмя способами. Эти выборы независимы друг от друга, так как каждый осуществляется из своего множества вариантов. Значит, общее число вариантов обеда равно произведению 2 · 4, то есть 8.

В о п р о с у ч а щ и м с я: а если бы на обед было предложено выбрать еще одно третье блюдо из пяти: чай, кофе, сок, компот, кисель? Тогда для каждого варианта обеда мы могли бы предложить пять вариантов третьего блюда и получили бы 8 · 5 или 40 вариантов обеда из трех блюд.

2. Решая эту задачу, мы использовали так называемое комбинаторное правило умножения.

Формулируем его в общем виде, обращая особое внимание на условие его применения – выбор из независимых наборов вариантов:

Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п1 · п2 · п2 · … · пk.

3. П р и м е р 3 рассматриваем из учебника со с. 173.

IV. Формирование умений и навыков.

На прошлом уроке мы рассмотрели два способа решения комбинаторных задач:

1. Перечисление (полный перебор) вариантов.

2. Подсчет вариантов с помощью графов.

2.1. Полные графы.

2.2. Дерево возможных вариантов (граф-дерево).

На этом уроке добавляются еще два способа:

3. Составление таблицы возможных вариантов.

4. Непосредственное применение комбинаторного правила умножения.

Упражнения:

727, № 728. На непосредственное применение комбинаторного правила умножения.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я решения задачи.

728.

В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов равно:

5 · 6 · 3 · 2 = 180.

О т в е т: 180 различных костюмов.

722.

Выбирая команды для игры, мы не учитываем порядок в паре, так как если первая команда играла со второй, то это одновременно означает, что вторая команда играла с первой.

Составим таблицу возможных вариантов, отмечая крестиком игру между командами.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Можно просто посчитать количество крестиков, но это не рационально. Заметим, что количество игр представляет собой арифметическую прогрессию (ап), где а1 = 1, d = 1, п = 11. Значит, нам надо найти S11.

.

Это мы посчитали количество игр, проведенных командами на своем поле. Значит, столько же игр сыграно на поле противника. Итого – 132 игры.

723.

На прошлом уроке мы решали такую же задачу, но с меньшим количеством участников, с помощью графа. В этой задаче этот способ применять нецелесообразно, так как очень большое количество ребер графа может только запутать учеников. Покажем два других способа решения этой задачи.

I с п о с о б. Составление таблицы возможных вариантов.

(ап) – арифметическая прогрессия.

а1 = 1, d = 1, п = 7;

О т в е т: 28 рукопожатий.

II с п о с о б. Применение комбинаторного правила умножения.

Каждый человек пожимает руку семи оставшимся. Но так как порядок выбора не имеет значения (если Иванов пожимает руку Петрову, то одновременно и Петров пожимает руку Иванову), то общее число рукопожатий равно = 28.

О т в е т: 28 рукопожатий.

725. Применение комбинаторного правила умножения.

Всего 10 цифр, каждая цифра комбинируется с оставшимися девятью (причем важен порядок, так как 2–3 и 3–2 разные коды) и с самой собой (возможен код 1–1, 3–3 и т. д.). Значит, вариантов 10 · 10 = 100. Так как в доме 96 квартир, то кодов хватит для всех.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете?

– Охарактеризуйте каждый способ решения.

– Сформулируйте комбинаторное правило умножения.

Домашняя работа: № 724, № 726, № 834, № 730 (а), № 731 (в).

Комбинаторные задачи / Комбинаторика / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Комбинаторика
  5. Комбинаторные задачи

Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять", "сочетать") - это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос "Сколькими способами...?" или "Сколько вариантов..?"

Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?

Метод перебора

Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора - логику перебора.

Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник - овал - треугольник и прямоугольник - треугольник - овал.

Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал - прямоугольник  - треугольник и овал - треугольник - прямоугольник.

Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник - прямоугольник - овал и треугольник - овал - прямоугольник.

Итак, мы получили шесть возможных вариантов:

 

Ответ: 6 способов.

При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой  О, треугольник - Т, прямоугольник - П. Тогда решение будет выглядеть так:

Т  О  Т  П  О  П

О  Т  П  Т  П  О

П  П  О  О Т   Т

Дерево возможных вариантов

Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, "корень" которого обозначается "*". Построим данную схему для нашей задачи:  Для этого от "корня" проведем  три "ветки" - отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество "веток", которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две "ветки" от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте,  проводим такое число "веток", которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной "ветке" от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:

Метод отрезков

Данный метод используется только для составления всевозможных пар. Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:

Необходимо ответить  на вопрос: " Сколько отрезков изображено на рисунке?". Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:

Соединим  данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:

Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.

Ответ: На рисунке 10 отрезков.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Комбинаторика

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 323, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 356, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 510, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 807, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1071, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1728, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1814, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1121, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 24, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 53, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 160, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 232, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 355, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 410, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 462, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 517, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Алгоритм

- Генерация всех возможных поддеревьев двоичного дерева

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
.

Понимание случайного леса. Как работает алгоритм и почему… | Тони Ю

Итак, как случайный лес гарантирует, что поведение каждого отдельного дерева не слишком коррелирует с поведением любого из других деревьев в модели? Он использует следующие два метода:

Bagging (Bootstrap Aggregation) - деревья решений очень чувствительны к данным, на которых они обучаются - небольшие изменения в обучающем наборе могут привести к существенно различающимся древовидным структурам. Случайный лес использует это преимущество, позволяя каждому отдельному дереву случайным образом выбирать из набора данных с заменой, в результате чего получаются разные деревья. Этот процесс известен как упаковка.

Обратите внимание, что при упаковке мы не разделяем обучающие данные на более мелкие фрагменты и не обучаем каждое дерево на отдельном фрагменте. Скорее, если у нас есть выборка размера N, мы все равно скармливаем каждому дереву обучающий набор размера N (если не указано иное). Но вместо исходных обучающих данных мы берем случайную выборку размера N с заменой.Например, если наши обучающие данные были [1, 2, 3, 4, 5, 6], мы могли бы дать одному из наших деревьев следующий список [1, 2, 2, 3, 6, 6]. Обратите внимание, что оба списка имеют длину шесть и что «2» и «6» повторяются в случайно выбранных обучающих данных, которые мы передаем нашему дереву (потому что мы производим выборку с заменой).

Разделение узлов в модели случайного леса основано на случайном подмножестве функций для каждого дерева.

Случайность признаков - В обычном дереве решений, когда приходит время разделить узел, мы рассматриваем все возможные признаки и выбираем тот, который дает наибольшее разделение между наблюдениями в левом узле ите, что в правом узле. Напротив, каждое дерево в случайном лесу может выбирать только из случайного подмножества функций. Это вызывает еще большее разнообразие деревьев в модели и в конечном итоге приводит к более низкой корреляции между деревьями и большей диверсификации.

Давайте рассмотрим наглядный пример - на рисунке выше традиционное дерево решений (выделено синим цветом) может выбирать из всех четырех функций при принятии решения о том, как разделить узел. Он решает использовать функцию 1 (черный и подчеркнутый), поскольку он разделяет данные на группы, которые максимально разделены.

А теперь взглянем на наш случайный лес. В этом примере мы рассмотрим только два дерева в лесу. Когда мы проверяем случайное дерево леса 1, мы обнаруживаем, что оно может учитывать только функции 2 и 3 (выбранные случайным образом) для своего решения о разделении узлов. Мы знаем из нашего традиционного дерева решений (выделено синим цветом), что Feature 1 - лучшая функция для разделения, но Дерево 1 не может видеть Feature 1, поэтому оно вынуждено использовать Feature 2 (черный и подчеркнутый). Дерево 2, с другой стороны, может видеть только объекты 1 и 3, поэтому оно может выбирать объект 1.

Таким образом, в нашем случайном лесу мы получаем деревья, которые не только обучаются на разных наборах данных (благодаря пакетированию), но также используют разные функции для принятия решений.

И это, мой дорогой читатель, создает некоррелированные деревья, которые буферизуют и защищают друг друга от их ошибок.

Случайные леса - мои личные фавориты. Приходя из мира финансов и инвестиций, святым Граалем всегда было построение набора несогласованных моделей, каждая с положительной ожидаемой доходностью, а затем объединение их в портфель, чтобы получить огромную альфу (альфа = рыночная доходность).Сказать легче, чем сделать!

Случайный лес - аналог этого в науке о данных. Давайте сделаем обзор в последний раз. Что такое случайный классификатор лесов?

Случайный лес - это алгоритм классификации, состоящий из множества деревьев решений. Он использует пакетирование и случайность признаков при построении каждого отдельного дерева, чтобы попытаться создать некоррелированный лес из деревьев , прогноз которого комитетом более точен, чем прогноз любого отдельного дерева.

Что нам нужно, чтобы случайный лес мог делать точные предсказания классов?

  1. Нам нужны функции, которые обладают хоть какой-то предсказательной силой. В конце концов, если мы кладем мусор, то мусор вывозим.
  2. Деревья в лесу и, что более важно, их прогнозы должны быть некоррелированными (или, по крайней мере, иметь низкую корреляцию друг с другом). Хотя сам алгоритм с помощью случайности признаков пытается спроектировать эти низкие корреляции для нас, выбранные нами особенности и гиперпараметры также будут влиять на окончательные корреляции.

Спасибо за чтение. Я надеюсь, что вы узнали столько же из чтения, сколько я из написания.Ура!

.

1.10. Деревья принятия решений - документация scikit-learn 0.23.2

Деревья решений (DT) - это непараметрический метод обучения с учителем. для классификации и регрессии. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая предсказывает ценность целевая переменная путем изучения простых правил принятия решений, выведенных из данных функции.

Например, в приведенном ниже примере деревья решений обучаются на основе данных аппроксимировать синусоидальную кривую с набором правил принятия решения «если-то-иначе».Чем глубже чем выше дерево, тем сложнее решающие правила и тем лучше модель.

Некоторые преимущества деревьев решений:

  • Просто для понимания и интерпретации. Деревья можно визуализировать.

  • Требуется небольшая подготовка данных. Другие методы часто требуют данных нормализации, необходимо создать фиктивные переменные и пустые значения для удалить. Однако обратите внимание, что этот модуль не поддерживает отсутствующие ценности.

  • Стоимость использования дерева (т.е., прогнозирование данных) является логарифмическим по количество точек данных, используемых для обучения дерева.

  • Может обрабатывать как числовые, так и категориальные данные. Другие техники обычно специализируются на анализе наборов данных только одного типа переменной. Смотрите алгоритмы для получения дополнительной информации Информация.

  • Может обрабатывать проблемы с несколькими выходами.

  • Использует модель белого ящика. Если данная ситуация наблюдается в модели, объяснение условия легко объясняется булевой логикой.Напротив, в модели черного ящика (например, в искусственной нейронной сеть), результаты может быть труднее интерпретировать.

  • Можно проверить модель с помощью статистических тестов. Это делает это Можно учесть надежность модели.

  • Работает хорошо, даже если его предположения несколько нарушаются истинная модель, из которой были созданы данные.

К недостаткам деревьев решений можно отнести:

  • Обучающиеся дерева решений могут создавать слишком сложные деревья, которые не хорошо обобщить данные.Это называется переобучением. Механизмы например, обрезка, установка минимального количества требуемых образцов на листовом узле или установка максимальной глубины дерева необходимо, чтобы избежать этой проблемы.

  • Деревья решений могут быть нестабильными из-за небольших вариаций в данные могут привести к созданию совершенно другого дерева. Эта проблема смягчается за счет использования деревьев решений в ансамбль.

  • Известно, что задача изучения дерева оптимальных решений NP-полная по нескольким аспектам оптимальности и даже для простых концепции.Следовательно, практические алгоритмы обучения дереву решений основаны на эвристических алгоритмах, таких как жадный алгоритм, где локально оптимальные решения принимаются на каждом узле. Такие алгоритмы не может гарантировать возврат глобально оптимального дерева решений. Этот можно смягчить путем обучения нескольких деревьев в ученике ансамбля, где функции и образцы выбираются случайным образом с заменой.

  • Есть концепции, которые трудно изучить, потому что деревья решений не выражают их легко, например, проблемы XOR, четности или мультиплексора.

  • Обучающиеся дерева решений создают предвзятые деревья, если некоторые классы доминируют. Поэтому рекомендуется сбалансировать набор данных перед подгонкой. с деревом решений.

1.10.1. Классификация

DecisionTreeClassifier - это класс, способный выполнять мультиклассы классификация по набору данных.

Как и другие классификаторы, DecisionTreeClassifier принимает на вход два массива: массив X, разреженный или плотный, размером [n_samples, n_features] , содержащий обучающие выборки и массив Y целых значений размером [n_samples] , с метками классов для обучающих выборок:

 >>> из дерева импорта sklearn >>> X = [[0, 0], [1, 1]] >>> Y = [0, 1] >>> clf = дерево.DecisionTreeClassifier () >>> clf = clf.fit (X, Y) 

После установки модель может быть использована для прогнозирования класса образцов:

 >>> clf.predict ([[2., 2.]]) массив ([1]) 

В качестве альтернативы можно предсказать вероятность каждого класса, которая является доля обучающих выборок одного класса в листе:

 >>> clf.predict_proba ([[2., 2.]]) массив ([[0., 1.]]) 

DecisionTreeClassifier поддерживает как двоичные (где метки - это [-1, 1]) классификация и мультикласс (где метки [0,…, K-1]) классификация.

Используя набор данных Iris, мы можем построить дерево следующим образом:

 >>> из sklearn.datasets import load_iris >>> из дерева импорта sklearn >>> X, y = load_iris (return_X_y = True) >>> clf = tree.DecisionTreeClassifier () >>> clf = clf.fit (X, y) 

После обучения вы можете построить дерево с помощью функции plot_tree :

.Алгоритм

- Что за нет. различных бинарных деревьев возможно с n помеченными узлами?

Переполнение стека
  1. Около
  2. Товары
  3. Для команд
  1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  2. Стек
.

двоичных деревьев - GeeksforGeeks

Пусть максимально возможная высота дерева с n узлами представлена ​​как H (n). Максимально возможное значение H (n) можно приблизительно записать, используя следующую рекурсию
 H (n) = H (2n / 3) + 1 
Решение вышеупомянутого повторения. Мы можем просто получить его, нарисовав дерево рекурсии. 4. Рассмотрим следующий алгоритм поиска заданного числа x в несортированном массиве A [1..n], имеющем n различных значений:
 1) Выберите i равномерно случайным образом из 1..n; 2) Если A [i] = x, то Stop else Goto 1; 
Предполагая, что x присутствует в A, каково ожидаемое количество сравнений, сделанных алгоритмом до его завершения?
а) п б) н-л в) 2н г) п / 2 Ответ (а) Если вы помните вопросы о монетах и ​​кубиках, вы можете просто угадать ответ на них. Ниже приводится доказательство ответа. Пусть ожидаемое количество сравнений равно E. Значение E - это сумма следующего выражения для всех возможных случаев.
 число_сравнений_для_каза * вероятность_для_каза 
Случай 1
 Если A [i] найден с первой попытки количество сравнений = 1 вероятность дела = 1 / n 
Случай 2
 Если A [i] будет найдено во второй попытке количество сравнений = 2 вероятность дела = (n-1) / n * 1 / n 
Случай 3
 Если A [i] найден с третьей попытки количество сравнений = 2 вероятность дела = (n-1) / n * (n-1) / n * 1 / n 
Таких случаев на самом деле бесконечно.Итак, мы имеем следующий бесконечный ряд для E.
 E = 1 / n + [(n-1) / n] * [1 / n] * 2 + [(n-1) / n] * [(n-1) / n] * [1 / n] * 3 +…. (1) 
Умножив уравнение (1) на (n-1) / n, мы получим
 E (n-1) / n = [(n-1) / n] * [1 / n] + [(n-1) / n] * [(n-1) / n] * [1 / n] * 2 + [(n-1) / n] * [(n-1) / n] * [(n-1) / n] * [1 / n] * 3 ………. (2) 
Вычитая (2) из ​​(1), получаем
 E / n = 1 / n + (n-1) / n * 1 / n + (n-1) / n * (n-1) / n * 1 / n + ………… 
Выражение справа - это GP с бесконечными элементами.Применим формулу суммы (a / (1-r))
 E / n = [1 / n] / [1- (n-1) / n] = 1 E = n 
.

MCQ на дереве с ответами

MCQ на дереве с ответами


1. Высота BST задается как h. Считайте высоту дерева как нет. ребер на самом длинном пути от корня до листа. Максимум нет. возможных узлов в дереве есть?

а) 2 ч-1 -1
б) 2 ч + 1 -1
в) 2 ч +1
г) 2 ч-1 +1
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

2. Количество внешних узлов в полном двоичном дереве с n внутренними узлами равно?

a) n
b) n + 1
c) 2n
d) 2n + 1
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

3.Разница между длиной внешнего пути и длиной внутреннего пути двоичного дерева с n внутренними узлами составляет?

a) 1
b) n
c) n + 1
d) 2n
Просмотреть ответ / скрыть ответ

4. Предположим, двоичное дерево построено с n узлами, так что каждый узел имеет ровно ноль или двое детей. Максимальная высота дерева будет?

a) (n + 1) / 2
b) (n-1) / 2
c) n / 2 -1
d) (n + 1) / 2 -1
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

5.Какое из следующих утверждений о двоичном дереве ПРАВИЛЬНО?

a) Каждое двоичное дерево является полным или полным
b) Каждое полное двоичное дерево также является полным двоичным деревом
c) Каждое полное двоичное дерево также является полным двоичным деревом
d) Двоичное дерево не может быть одновременно полным и полным. полный
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

6. Предположим, у нас есть числа от 1 до 1000 в двоичном дереве поиска и мы хотим найти число 363. Какая из следующих последовательностей не может быть последовательностью проверенного узла?

а) 2, 252, 401, 398, 330, 344, 397, 363
б) 924, 220, 911, 244, 898, 258, 362, 363
в) 925, 202, 911, 240, 912 , 245, 258, 363
г) 2, 399, 387, 219, 266, 382, ​​381, 278, 363
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

7.В полном двоичном дереве поиска каждый внутренний узел имеет ровно двух дочерних элементов. Если в дереве 100 листовых узлов, сколько внутренних узлов в дереве?

a) 25
b) 49
c) 99
d) 101
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

8. Какой тип обхода двоичного дерева поиска выводит значение в отсортированном порядке?

a) Предварительный заказ
b) Заказ
c) Пост-заказ
d) Нет
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

9.Предположим, что полное двоичное дерево имеет высоту h> 0. Минимальное возможное количество листовых узлов с точки зрения h равно?

а) 2 ч -1
б) 2 ч -1 + 1
в) 2 ч -1
г) 2 ч +1
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

10. Дерево 2-3 - это такое дерево, что

a) Все внутренние узлы имеют 2 или 3 дочерних элемента
b) Все пути от корня до листьев имеют одинаковую длину

Количество внутренних узлов в 2-3 дерево с 9 листьями может быть

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

11.Если узел, имеющий двух дочерних узлов, должен быть удален из двоичного дерева поиска, он заменяется его

a) Порядковый предшественник
b) Последовательный преемник
c) Предварительный заказ
d) Нет
Просмотр ответа / Скрыть ответ

12. Бинарное дерево поиска формируется из последовательности 6, 9, 1, 2, 7, 14, 12, 3, 8, 18. Минимальное количество узлов, необходимое для добавления в это дерево для формирования расширенного двоичного дерева?

a) 3
b) 6
c) 8
d) 11
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

13.В полном двоичном дереве каждый внутренний узел имеет ровно два дочерних элемента. Полное двоичное дерево с 2n + 1 узлами содержит

a) n конечных узлов
b) n внутренних узлов
c) n-1 конечных узлов
d) n-1 внутренних узлов
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

14. Время выполнения для обхода всех узлов двоичного дерева поиска с n узлами и их печати в порядке:

a) O (nlg (n))
b) O (n)
c) O (√ n)
d) O (log (n))
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

15.Когда двоичное дерево преобразуется в расширенное двоичное дерево, все узлы двоичного дерева во внешнем узле становятся

a) Внутренние узлы
b) Внешние узлы
c) Корневые узлы
d) Нет
Просмотр ответа / Скрыть ответ

16. Если n чисел должны быть отсортированы в порядке возрастания за время O (nlogn), какое из следующего дерева можно использовать

a) Двоичное дерево
b) Двоичное дерево поиска
c) Макс. -heap
d) Min-heap
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

17.Если в двоичном дереве поиска отсортировано n элементов. Какой была бы асимптотическая сложность поиска ключа в дереве?

a) O (1)
b) O (logn)
c) O (n)
d) O (nlogn)
Просмотреть ответ / Скрыть ответ

18. Если n элементов отсортированы в сбалансированном двоичное дерево поиска. Какой была бы асимптотическая сложность поиска ключа в дереве?

a) O (1)
b) O (logn)
c) O (n)
d) O (nlogn)
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

19.Минимальное количество элементов в куче высотой h составляет

a) 2 h + 1
b) 2 h
c) 2 h -1
d) 2 h-1
Просмотр Ответ / Скрыть ответ

20. Максимальное количество элементов в куче высотой h

a) 2 h + 1 -1
b) 2 h
c) 2 h - 1
d) 2 h -1
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

21. Многопоточное двоичное дерево - это двоичное дерево, в котором каждый узел, у которого нет правого дочернего элемента, имеет поток к своему

a) Преемник предварительного заказа
б) Преемник в порядке
в) Преемник в порядке
г) Преемник после заказа
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

22.В каком из следующего дерева родительский узел имеет значение ключа, большее или равное значению ключа обоих его дочерних узлов?

a) Дерево двоичного поиска
b) Многопоточное двоичное дерево
c) Полное двоичное дерево
d) Максимальная куча
Просмотреть ответ / скрыть ответ

23. Двоичное дерево T имеет n листовых узлов. Количество узлов степени 2 в T равно

a) log 2 n
b) n-1
c) n
d) 2 n
Посмотреть ответ / Скрыть ответ

24.Дерево двоичного поиска генерируется путем вставки следующих целых чисел в порядке:
50, 15, 62, 5, 20, 58, 91, 3, 8, 37, 60, 24

Номер узла в левой подгруппе -дерево и правое поддерево корня, соответственно:

a) (4, 7)
b) (7, 4)
c) (8, 3)
d) (3, 8)
Просмотреть ответ / Скрыть ответ


.

Смотрите также

Сайт о Бане - проект, посвященный строительству, эксплуатации и уходу за русской баней. Большой сборник статей, который может быть полезен любому любителю бани

Содержание, карта сайта.